高等数学思想在本科毕业设计中的运用研究
摘要：本科毕业设计是本科教育不可或缺的重要环节，是本科生将所学到的理论知识加以运用的重要平台。本文主要研究如何将高等数学思想有效地融入到本科毕业设计当中，使学生在掌握大学数学理论知识的同时，能把它运用到实际问题上，从而提高数学素养、培养学生解决实际问题的能力、激发学生的创新能力，这项研究对提高数学专业本科毕业设计的质量具有一定的参考价值。
关键词：本科毕业设计；高等数学；运用研究
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）36-0198-02
高等数学思想的精华和核心思想是极限，如何将极限的思想贯穿于本科毕业设计是作者从事高等教学工作以来经常思考的问题。指导老师给出的课题，既要保证学生能够做出来，而且在这个毕业设计过程中要让学生切身体会到这种思想的运用，不是一个简单的问题，它需要从事高等数学的教育工作者去认真思考和琢磨：如何选题？如何将实际问题与高等数学思想紧密结合，又不乏趣味性？教师应该如何指导？等等，这些问题将是本文要进行探讨的。为此，借助于一个具体的毕设计实例来对这些问题进行解答，相信这项研究会对数学专业的本科毕业设计质量的提高具有一定的参考价值。
一、毕业设计实例
在实际工程应用中为了解决许多科技问题，经常需要进行定积分的计算。因此探索一个简便易行的求解定积分方法已成为许多学者的追求目标。在已知区间上对已知函数求定积分时，理论上可以用牛顿-莱布尼茨（Newton-Lipnize）公式求解，但在工程实际中并不实用。首先，许多经常接触到的被积函数虽然理论上讲一定存在原函数，但是需要用很高的技巧方可求出，求解过程相当繁琐，且求出的原函数无法用初等函数的有限形式表示出来，或冗长而不便于计算，实际上难于应用。其次，有些从工程实际或科学实验中测得的被积函数本身就不是解析表达式，而是表格或曲线，计算它们的定积分，就更加无法找到解析形式的原函数。基于上述原因目前国内外的学者已探索出了许多不同的求解定积分的数值方法，例如：抛物线法、矩形法、梯形法和辛普生法等，但是每种算法都存在或多或少的缺陷。
基于以上分析，给学生提出以下毕业设计课题。课题的名称是“数学软件Matlab在定积分求解方法中的应用研究”，研究的问题是探索更为有效的定积分数值求解算法。课题意义、研究内容、特色及关键问题可概括为：MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件，它在数学类科技应用软件中尤其在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。把Matlab这一数学分析工具运用到定积分的求解问题上，一方面可以掌握Matlab在数值上的使用方法，达到学以致用的目的，另一方面可以探索更为有效的定积分数值求解算法，从而丰富定积分的数值计算方法。本课题的特色就是数学理论与应用软件相结合，而探索更为有效的定积分数值求解算法是本课题的关键问题。
通过与学生的数次讨论，我们在矩形中值法的基础上，构造出依据被积函数导数的大小进行区间分割的数值算法，即阈值分割法。数值实验结果表明，此方法与单纯的矩形中值均分相比，不仅提高了计算精度，而且加快了运算速度。因此，该项工作为定积分的数值求解研究，提供了更为科学的指导。
二、选择适合学生做，而且具有一定趣味性的课题
1.选题要合理，理论上不能太深奥。学生的综合素质和学习能力各有差异，必须针对不同的学生选取合适的毕设课题。指导老师首先要充分和全面了解学生的学习情况、就业准备情况以及性格等，具体如专业课程的学习成绩、是否校内进行毕设、是否已经找到工作、性格是否过于内向等等。只有充分了解学生，才能给出适合学生做的毕业设计题目。其次，选题的理论不能过于深奥，毕业设计的目的不是一味追求理论上的深度，而在于培养学生利用所学到的知识解决实际问题的能力，太理论的选题会打压学生的学习兴趣和自信心。课题“数学软件Matlab在定积分求解方法中的应用研究”就是基于以上考虑而给出的选题。数学软件Matlab和定积分求解都是数学专业学生最为熟悉的学习内容，利用数学软件Matlab求解定积分对他们来说是一个全新的新颖的问题，理论上又比较浅显，从而可以激发学生的好奇心和兴趣。
2.选题要有趣味性，激发学生的好奇心和研究动力。兴趣是学生能够主动学习的强大动力。如何选取一个既能反映学生所学专业的毕设要求又兼具趣味性的课题，是指导老师必须首先应该思考的问题。定积分是数学专业学生非常熟悉的学习内容，从大一开始就进行了学习，Matlab是学生比较熟悉的数学应用软件，学过C语言的学生能够很轻松地掌握它，但是利用Matlab从数值上来求解定积分是大部分学生没有遇到的问题，而且利用数学软件来解决数学问题本身就是一件很新奇的事情，因此学生对于这样的课题会非常感兴趣，也试图把所学到的理论知识落实到实践中去。
三、把高等数学的思想巧妙地嵌入到毕业设计当中
1.教师要弄清楚哪些高等数学思想是核心思想。对于大学高等数学而言，核心思想应该是极限的思想，而极限的思想又主要反映在求导和积分的计算中，因此选题应该把求导和积分思想考虑进来。课题“数学软件Matlab在定积分求解方法中的应用研究”就是基于这种考虑提出来的。通过该课题的研究，必然会使学生对高等数学的核心思想有更加深入和全面地理解。
2.高等数学思想要与研究课题巧妙地结合并创新。高等数学思想既丰富又深刻，既完善又需创新，它要与研究课题巧妙地结合，才能提高毕业设计的质量。死板硬套的结合不仅缺乏趣味性，又难以有创新点。课题“数学软件Matlab在定积分求解方法中的应用研究”是基于如下背景提出来的：牛顿一莱布尼兹公式提供了用原函数计算定积分的方法，但实际上在计算定积分时，常常会遇到下述几种情况。（1）在生产实际或工程技术中，通常只给出一串由实验或测量得出的被积函数值。（2）被积函数的原函数不是初等函数。（3）被积函数的原函数虽然是初等函数，但结构复杂，不易计算。因此必需寻求定积分的近似计算方法。目前已有的近似计算方法有抛物线法、矩形法、梯形法和辛普生法等，但是每种算法都存在或多或少的缺陷，例如计算精度不是很高，运算速度比较慢等。为此探索更为有效的数值方法是一件非常有意义的研究工作。在矩形中值法的基础上探索了一种精确度更高，运行速度更快的方法—阈值分割法，并通过具体实例验证了这一算法，达到了预期的效果。
四、为了取得良好的毕业设计效果，指导老师一定要舍得多花时间和精力
精心指导、全程监控和严格管理是保证毕业设计顺利完成和取得良好效果的基本保障，指导老师需要花费大量时间和精力。一方面，指导老师要明确各个阶段学生应该要完成的毕设任务，督促学生按时完成。大部分学生刚开始进入课题时信心百倍、情绪高涨和积极主动，但是过了一段时间，就会出现不耐烦和松懈的情绪，这就需要指导老师及时察觉和提醒，正确引导学生继续课题的研究。另一方面，指导老师要与所指导的学生保持经常联系，最好每周进行一次面对面的讨论和交流，及时发现学生碰到的难题以及提出可能的解决办法。课题“数学软件Matlab在定积分求解方法中的应用研究”的初期研究阶段，学生感到比较迷茫，通过与学生面对面的数次交流，学生决定首先对已有的数值求解方法进行对比分析，比较各种方法的优缺点，最后发现可以针对矩形中点法做改进，主要改进点为通过比较各小区域的端点和终点的斜率（即导数大小），来进行有选择性地细分积分区间，以达到在提高精度及缩短运行时间的双重效果。因此只有做到精心指导、全程监控和严格管理，才能有效提高本科毕业设计的质量。
五、总结
本科毕业设计是高校培养人才的重要实践环节，是本科教学水平评估的重要依据，也是衡量一个高校的办学水平和育人效果的重要参照。本文针对数学专业的毕业设计，研究了如何将高等数学思想融入到本科毕业设计当中，基于一个具体的毕设实例，提出了若干建议，主要包括选择适合学生做而且具有一定趣味性的课题、把高等数学的思想巧妙地嵌入到毕业设计当中、为了取得良好的毕业设计效果，指导老师一定要舍得多花时间和精力。当然要想不断地提高高等数学思想在本科毕业设计中的运用实效，我们仍需进一步探索、归纳和总结新的方法和技巧。
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基金项目：广西教育科学“十一五”规划课题“教师科研与数学基础课教学相结合的应用研究”，项目编号：2010C066
作者简介：李科赞（1982-），男，博士，副教授，硕士生导师，从事数学专业的高等教育和科研工作。