二次函数考察重点与常见题型(学生用)
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二次函数考察重点与常见题型( 学生用)
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编制日期：二 O O 二 二 O O 年六月
二次函数考查重点与常见题型
1 ． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以 x 为自变量的二次函数 2 ) 2 (2 2 m m x m y 的图像经过原点， 则 m 的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数 b kx y 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 12 bx kx y 的图像大致是（
）
y
y
y
y
1
1
0
x
o-1
x
0
x
0 -1
x
A
B
C
D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35 x ，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线2y ax bx c （a≠0）与 x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与 y轴交点的纵坐标是－ 32
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5 ．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
【由抛物线的位置确定 系数的符号】
例 1 （1）二次函数2y ax bx c 的图像如图 1，则点 ) , (acb M 在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）已知二次函数 y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象如图 2 所示，•则下列结论：①a、b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
(1)
(2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键． 例 2.已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x 1 ，0)，且 1<x 1 <2，与 y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为(
)
A 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D．4 个
【会用待定系数法求二次函数解析式】
例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax 2 +bx+c的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为(
)
A(2，-3)
B.(2，1)
C(2，3)
D．(3，2)
例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形 ABC以 2米/秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到 AB 与 CD重合．设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym 2 ． （1）写出 y与 x 的关系式； （2）当 x=2，时，y分别是多少 （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、 对称轴.
例 5、已知抛物线 y=12x 2 +x-52． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例 6.已知：二次函数 y=ax 2 -(b+1)x-3a的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 ) 0 , (1x A ， ) 0 , (2x B两点 ) (2 1x x ，交 y轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB． (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角∠MCO>∠ACO若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
例 7、 “已知函数 c bx x y 221的图象经过点 A（c，－2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评：
对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
【用二次函数解决最值问题】
例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1．试
在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例 2
某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）•与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15 20 30 … y（件）
25 20 10 …
若日销售量 y是销售价 x 的一次函数．
（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
例 3.你知道吗平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是 1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) (
) A．1．5 m
B．1．625 m
C．1．66 m
D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用
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