最优投资组合模型剖析
最优投资组合模型 陈家跃 1
肖习雨 2
杨珊珊 3 1．韶关学院 2004 级数学与应用数学 广东韶关 512005 2．韶关学院 2003 级信息技术(1)班 广东韶关 512005 3．韶关学院 2004 级信息技术班 广东韶关 512005
摘
要
本文通过各种投资回报数据,对各种投资方案的回报效益进行分析,以平均回报期望为回报率,用回报方差来衡量风险,建立了在 VaR(风险价值)约束下的经典马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型，并从几何角度具体地阐述了此模型的算法,最后根据此算法和借助数学软件 LINGO、MATLAB 计算出在 VaR=1%,…,10%下的最优投资组合为方案一投资 1421 万美元,方案二投资 2819.5 万美元,方案三投资 759.5 万美元,得到的最大净收益为 500.00 万美元,结果令人满意.
关键词:
马柯维茨均值-方差模型;VaR 约束;置信水平
1 问题的提出 某基金会有科学基金 5000 万美元，现有三种不同的投资方式，分别为政府债券、石化产业股票、信息产业股票，为了保证其基金安全增殖，设计收益最大且安全的投资方案，要求(1)获得最大的投资回报期望(2)投资的风险限制在一定的范围。保证该投资方案资金保值概率不低于 95%。
（假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立）
三种投资方式分别为：
投资方式一：
购买政府债券，收益为 5.6％/年； 投资方式二：
投资石化产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录(如附录图表一)； 投资方式三：
投资信息产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录(如附录图表二)。
2 模型的假设 2．1
该基金投资持有期为一年； 2．2
投资政府债券的风险为零； 2．3
方案二和方案三中选取的八十只股票具有代表性，能反映总体股市情况； 2．4
不考虑交易过程中的手续费，即手续费为零； 2．5
总体投资金额设为单位 1. 3 符号的约定 P ：表示证券组合在持有期 t 内的损失； iX ：
表示第 i 种方案的投资权重（投资比例）； c ：
表示置信水平，反映了投资主体对风险的厌恶程度； 2i ：
表示第 i 种方案的投资回报方差；
iR ：
表示第 i 种方案的投资回报期望； ijr ：
表示第 i 种方案里的第 j 只投票回报期望.
4 问题的分析 此问题是一个投资组合的问题,投资项目包括政府债券和股票两种,政府债券收益率比较低但风险基本为零,而股票则收益率高但风险也相应高,最终目标是设计出一个投资组合方案使该基金会获得最大的回报期望和最少的投资风险. 经典的马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型正是解决这种投资组合问题的有效模型,他提出用收益期望来衡量回报率,用收益方差来衡量风险(方差越大,认为风险越大;方差越小,认为风险越小).而后来有不少学者对此模型进行深入研究,并提出了引入 VaR 约束和置信水平下的马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型,这种改进的模型不但继承了马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型的精髓,而且更实用、准确。VaR 即风险价值(Value at Risk)，是指市场正常波动下，在一定的概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失;置信水平表示投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高对风险的厌恶程度越大；相反，置信水平越高，就越喜欢冒险。
5 模型的建立 5．1 经典马柯维茨均值-方差模型：
niiniipx t sR1121 . .maxminR XΣX XTT 其中，TnR R R ) ,..., , (2 1 R ； ) (i ir E R 是第 i 种资产的预期回报率；Tnx x x ) ,..., , (2 1 X 是投资组合的权重向量；n n ij ) ( 是 n 种资产间的协方差矩阵；31 ii pR R 和2p 分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。该模型的解在p pR 空间是抛物线，即投资组合的有效前沿。
5．2
风险价值的确定：
VaR 为风险价值，设资产组合的初始价值为 W ，持有期末的期望收益为 R ， R 的数
学期望和标准差分别为 和 ，在给定的置信水平 c 下，期末资产组合的最低值为) 1 ( R W W ，其中R 为相应的最低收益率(一般为负值)，则：
) ( ) ( )
(* * R W W W E Risk at Value VaR
(1) 又由 cR RP R R P 1 ) ( ) (，可知：
RR
(2) 将(2)式代入(1)式可得：
W W W W E VaR ) ( ) ( 。
另外 VaR 的求解方法还可用历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法求得.
5．3
加入 VaR 约束后的马柯维茨均值-方差模型：
假定置信水平为 c ，由 VaR 的定义，有：
c VaR r obp 1 ) ( Pr
（3）
在经典马柯维茨均值-方差模型中加入 VaR 约束后，模型变为：
niippPxc VaR r ob t sr E1211 ) ( Pr . .) ( maxminR XΣX XTT 在正态分布下，（1）式可化为：
) ) ( ) ( (1p pc r E VaR
(4)
其中，) ( 是标准正态分布的分布函数。
VaR 约束 pR
p-VaR A B 图 1
基于 VaR 约束的投资组合的有效前沿 O
此模型的解在p pR 空间中是图 1 中的弧线 AB ，称其为基于 VaR 约束下的投资组合的有效前沿。
图 1 中 VaR 约束表现为一条斜率为 ) (1c 、截距为-VaR 的直线。在该直线或其以上的全部投资组合都具有 c 的概率使其回报率超过最小值-VaR；而在直线以下的全部投资组合回报率在置信度 c 下不超过-VaR。这样，VaR 约束使投资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和 VaR 约束直线间的阴影部分，即点 A 和 B 之间的弧线 AB 上。进一步地，根据有效集定理，最优投资组合选择应为抛物线顶点 O 与点 A 之间的弧线，即弧线段 OA。
5．4
加入 VaR 约束后的马柯维茨均值-方差模型的几何解法：
由图 1 可知，VaR 约束的最优投资组合确定时，只需求出点 A 和 O 处的权重即可。但由于该模型的约束条件比较复杂，用传统的 Laganerge 乘子法无法求解。因此在这里我们用几何方法来解决此问题。
设 n 种资产组合的权重是n nx x x x , ,..., ,1 2 1 （其中1 2 1... 1 n nx x x x ），则投资组合的期望回报率 ) (p pr E R 与方差2p 分别可表示为：
n n n n pR x x R x R x R x R ) ... 1 ( ...1 1 1 1 2 2 1 1
(5) n n n nn n n nnn n n n n px x xx x x x x x xx x x x x, 1 1 1 11 1 1 1 1 , 1 1 1 12 2 121 1 1 , 121 2222 11212) ... 1 ( 2 ...) ... 1 ( 2 2 ... 2) ... 1 ( ...
(6) 因为协方差矩阵 Σ 是正定矩阵，所以在权重空间 ) ,..., , (1 2 1 nx x x 中，(4)式代表等方差超椭球面。2p 取不同值可得到一族同心超椭球面，中心记为 MVP ，表示所有的可能投资组合中风险最小的投资组合的权数；在权重空间 ) ,..., , (1 2 1 nx x x 中，(3)式代表等期望回报率超平面，pR 取不同值可得到一族平行超平面。因而， n 种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点。将这些正切点连接起来，就得到一条直线，称其为 n 种资产投资组合的临界线。不难看出，临界线实际上就是图 1中的有效前沿在权重空间中的表现形式。
(5)式在点 ) ,..., , (1 2 1 nx x x 处的法向量为：
) , ... , , (1 2 1 n n n nR R R R R R . (6)式在点 ) ,..., , (1 2 1 nx x x 处的法向量为：
) ) 2 (... ) ( ... ) (......,,) ( ... ) 2 ( ... ) (......,,) ( ... ) ( ... ) 2 ((, 1 1 , 1 1 , 1, 1 1 , 1 , 1 1 1 , 11 , 1 1 , 1 1 111 , 1 1 1 , 1 1 1 1 1 11nn n n n n n nn n nk n n kn nn n k n n n nn nnn knn n n kn nn n k k kn nn kk kn n nn knn nn n n n nn n k kn n nn k n nnxx xx x xx x x
令
], 1 , 1 , 0 ,..., 0 , 0 , 0 [......,], 1 , 0 , 0 ,..., 0 , 1 , 0 [], 1 , 0 , 0 ,..., 0 , 0 , 1 [ 1 n21PPP
,1 1 ... 1 10 1 ... 0 00 0 ... 1 00 0 ... 0 1 Q
1121nxxx W
则(4)式在点 ) ,..., , (1 2 1 nx x x 处的法向量可简化为：
) (T1 nTkT2T1QW P , ... , QW P , ... , QW P , QW P 由临界线定义，可得临界线方程为 n n n kkn nR R R R R R R R 1 2 1... ...T1 nT T2T1QW P QW P QW P QW P
(7) 由(5)式可得到 2 n 个方程构成的线性方程组：
2 1 1 , , 2 2 2 , 2 1 1 , 22 1 1 , 2 2 22 1 211 1 1 , 1 2 12 1 11n n n n n nn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a
(8) 其中：
n nn n jn nn n jn ijn in nn ijijR R R Ra 1, 1 1 , n nnn n nn inn iniR R R Rb1, 1 ，
. 1 , , 2 , 1 , 2 , , 2 , 1 n j n i 进一步将(2)式化为如下形式：
2112) () (cVaR Rniip
(9) 根据均值和方差的表达式：
niTiR X R1， X XT 312ii ，将其代入上式：
212) () ( cVaR R XX XTT
(10) 因为线性方程组(6)的秩是2 n，所以它的基础解系的个数是 1，我们可以用1x分别表示1 3 2. , , nx x x 。而由于11niix，nx 也可以用1x 表示。将nx x x . , ,3 2 代入(8)式，就得到一个关于1x 的一元二次方程，求出1x 就可得到相应nx x x ,. , ,3 2 的值。因为1x 有两个根，因此有两组解，它们分别是点 A 和点 B 处的权重。这样就求出了点 A 和点 B 处投资组合的预期回报率AR ，BR 和方差2A ，2B 。
进一步地，根据方程2 X X T ，我们可求出抛物线顶点 O 处的投资权重。该方程是常数项包含2 的关于1x 一元二次方程，当其判别式为零时只有一个解，此时Ax 1 与Bx 1重合为Ox 1 。利用判别式为零求出2 后，便可分别求出 O 点的投资权重及投资回报率OR 。
于是可以得到 VaR 约束下投资组合的选择范围：
Anii OR R R 1，2312 2Aii O 。
针对这一范围内投资组合的一个回报率PR ，联立(8)式和(5)式，就可在临界线上求得投资组合最优权重，该权重下的投资组合的方差为最小，并通过(6)式可算出这个最小方差；同理，给定了上述范围内投资组合的一个方差2p ，联立(8)式和(6)式，就可在临界线上求得投资组合的最优权重，使得该权重下的投资组合的预期回报率最高，并且由(5)式可算出这个最高的预期回报率。
5．5 协方差的求解：
设 ) , ( Y X 是二维随机变量，若 ) )) ( ))( ( ( ( Y E Y X E X E 小于无穷大，则称
) )) ( ))( ( ( ( Y E Y X E X E 为 X 与 Y 的协方差，记为 ) , ( Y X Cov .
即：
) )) ( ))( ( ( ( ) , ( Y E Y X E X E Y X Cov
计算式：
) ( ) ( ) ( ) , ( Y E X E XY E Y X Cov
当 Y X, 相互独立时，有 ) )) ( ))( ( ( ( Y E Y X E X E ＝0 由此可知，如不等于 0，则它们肯定不独立。
6 模型的求解 由于投资方案二和投资方案三给出的各四十只股票都是随机抽样得来的,据概率论中的大数定理，能基本反映该类股票的收益和风险，然后用数学软件 MATLAB 可以求出三种投资方案的回报率期望、回报率方差和协方差矩阵，得下表：
方案一,方案二和方案三的回报率,风险数据及协方差矩阵
回报率均值iR (%) 回报率方差2i (%) 协协方差矩阵 方案一 5.6 0 240 . 0 0 00 024 . 0 00 0 0 方案二 9.9 1.71 方案三 18.6 22.23
3 , 2 1 ) ( Pr1* 240 . 0 * 024 . 0 min186 . 0 * 099 . 0 * 6 . 05 . 0 * max4013123223123 2 131i c VaR r obXX XX X X Rjijiiiiii
由公式21312) () (cVaR Riip (其中) (c 为标准正态分布函数ecx2221) ( ，
则 c c ln 2 ln ) (1 ，而 VaR 和 c 都是一个未定值) 和1 2 12 1 11* * b X a X a
其中: 113 . 62377 . 23896 . 93 233 233 133 1313 223 23 33 223 123 13 33 12123 223 13 33 123 113 13 33 1111 R R••R R••bR R• • • •R R• • • •aR R• • • •R R• • • •a 当给定 VaR 值和 c 值时就能得到最优值。
由题意可知 c=95% 运用数学软件 LINGO 和 MATLAB 求解得下表:
VaR(%) 1X
2X
3X
方差2i (%) 净收益(万美元) 1 1 0 0 0 280.00 2 1 0 0 0 280.00 3 1 0 0 0 280.00 4 1 0 0 0 280.00 5 1 0 0 0 280.00 6 0.9370 0.0482 0.0148 0.01 300.00 7 0.7794 0.1688 0.0519 0.13 350.00 8 0.6218 0.2893 0.0889 0.39 400.00 9 0.4642 0.4098 0.1260 0.78 450.00 10 0.2842 0.5639 0.1519 1.32 500.00
又由计算可得当VaR>0.1时没最优解,故最优的的投资组合为方案一投资1421万美元,方案二投资2819.5万美元,方案三投资759.5万美元,最大净收益为500.00万美元. 参考文献: [1] 姜启源等,数学模型[M],北京：高等教育出版社，2004。
[2] 李强等,Maple 基础应用教程[M],北京：中国水利水电出版社,2004。
[3] 宋兆基等，MATLAB6.5 在科学计算中的应用[M]，北京：清华大学出版社，2005。
[4] 谢金星 薛毅编著,优化建模与 LINDO/LINGO 软件[M]：清华大学出版社.2005。
[5]邵欣炜，基于 VaR 的证券投资组合优化方法， les/Attach/1883/2005/03/22/1134279531.doc，2006 年 8 月 25 日。
附录 石化产业股票的案例记录: 案例编号 投资量（万）
回报（万）
企业编号 投资量（万）
回报（万）
1 2000 250 21 1290 270
2 5000 350 22 1720 -129 3 1500 -200 23 2980 -120 4 2500 1000 24 4600 310 5 4500 240 25 5100 620 6 1800 -180 26 7200 740 7 5200 290 27 4900 200 8 2500 150 28 3200 -310 9 3400 500 29 5000 -620 10 4000 1000 30 4900 620 11 8000 80 31 5700 -292 12 7500 1000 32 4900 270 13 4600 120 33 3100 2010 14 4300 290 34 4930 278 15 1200 420 35 6700 810 16 2600 510 36 7800 620 17 3100 1020 37 9100 720 18 2010 -230 38 4100 120 19 1020 120 39 3900 240 20 3100 1020 40 2300 410
(表一) 信息产业股票的案例记录: 企业编号 投资量（万）
回报（万）
企业编号 投资量（万）
回报（万）
1 2500 700 21 6010 230 2 7100 2100 22 3740 1020 3 1400 970 23 6350 3100 4 3100 -210 24 7240 9400 5 1800 -1500 25 3100 580 6 2500 2300 26 5170 -2100 7 2700 210 27 3410 -2000 8 5600 1500 28 8210 420 9 3010 -2800 29 6830 5400 10 7200 8100 30 5260 1020 11 1300 510 31 2570 1200 12 2900 350 32 6450 4210 13 3400 130 33 6175 -720 14 6700 1750 34 6310 5100 15 3600 1400 35 3852 -3630 16 6050 2410 36 7980 230 17 6700 210 37 6340 -540 18 5300 710 38 5780 1750 19 4790 20 39 5250 2030 20 6800 -1700 40 2770 780
(表二)
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