基于概率论的商业经济活动探讨
中图分类号:F224.7 文献标识码:A
内容摘要:本文通过实例系统阐述了正态分布、二项分布、大数定律及随机变量的数字特征在经济生活中各方面的应用,进一步说明在商业经济活动中运用概率论知识可以做出更好的决策和行动,从而提高经济效益。
关键词:概率论 经济 应用
概率论研究随机现象的统计规律性,它在自然科学、工程技术、社会科学、军事和工农业生产中,尤其是在社会经济活动中有着广泛的应用。在产品的质量控制,经济管理,经济决策等方面都发挥着重大作用。管理者应充分利用生产过程、管理过程中出现的信息,运用概率统计知识寻找其间隐含的统计规律性,以此来指导生产实践,从而帮助我们作出更好的决策和行动,以提高经济效益。
正态分布在自动控制中的应用
饮料厂生产一种容量为300ml的罐装饮料,自动包装线上大量数据表明,每罐容量是服从标准差为30ml的正态分布。为了使每罐饮料少于300ml的产品不多于10%,应把自动包装线控制的均值μ调节到什么位置上?一台新的包装机价格是10万元,但罐装的饮料的容量服从标准差为7.5ml的正态分布,同样为了使每罐饮料少于300ml的产品不多于10%,应把自动包装线控制的均值μ调节到什么位置上?
设X表示原自动包装线上一罐饮料的容量,则X ~N(μ,302),若把自动包装线的均值μ控制在300ml的位置上,则少于300ml的饮料要占全部饮料的50%,这是不合要求的。为此应把均值μ控制在比300ml大的位置上,其中μ必须满足概率方程P{X<300}=0.1。即P{X<300}=P{<}=Φ()=0.1,于是Φ()=0.9,由此可得=1.28,从而μ=338.4。即把自动包装机的均值调节到338.4的位置上才能保证少于300ml的饮料不多于10%,即平均每罐要多装38.4ml。
如果投资10万元新买一台包装机,新包装线上每罐饮料的容量为Y,则Y~N(μ1,7.52),为了使少于300ml的饮料所占的比例不多于10%,其中μ1必须满足方程P{Y<300}=0.1。即P{Y<300}=P{<}=Φ()=0.1,于是Φ()=0.9,由此可得=1.28,从而μ1=309.6。采用新包装机平均每罐可节约饮料338.4-309.6=28.8ml。
若以每日生产20000罐饮料计算,则每日可节约20000×28.8=576000ml饮料,如果每100ml饮料的成本为1元,则工厂每日可增加利润5760元,18天就能赚回成本,第19天就可获净利润,因此该饮料厂应该购买新的包装机。
由于自动线包装的饮料的容量服从正态分布,正态分布的方差反映了包装机的精度,它不仅影响到产品的质量,而且影响到工厂的效益。所以在一些产品的质量控制过程中,更重要的是控制方差。正态分布在自动控制、优化设计、包装或加工零件的精度以及质量管理和控制等方面有着广泛的应用,正态分布的均值就是自动控制的设定值,方差就是自动控制的精度;方差越小,精度越高,系统的性能越好。
二项分布在科学管理中的应用
某研究中心有同类型仪器300台,各仪器工作相互独立,而且发生故障的概率均为0.01,通常一台仪器的故障由一人即可排除。问:为保证仪器发生故障时,不能及时排除的概率小于0.01,至少要配备多少个维修工人?有两种维修方案,方案A:一人维修固定的20台仪器,方案B:三人维修固定的80台仪器,哪种方案好?
设X表示300台仪器中发生故障的台数,则X ~B(300,0.01),设b为需要配备的维修工人数,则应有P{X > b}≤0.01,即P{X >b}=1-P{X≤b}=1-Ck3000.01k0.99300-k,由于n=300较大,p=0.01较小,根据泊松定理,可以用λ=np=3的泊松分布近似计算。则有P{X >b}=1-≤0.01,查表得=0.9962,所以为达到要求至少需配备8名维修工人。
设Y表示20台仪器中发生故障的台数,则Y ~B(20,0.01)。若在同一时刻发生故障的仪器数Y≥2,则一个工人不能维修,此概率为p1=P{Y ≥2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}=0.0169。设Z表示80台仪器中发生故障的台数,则Z~B(80,0.01)。若在同一时刻发生故障的仪器数Z≥4,则由三个工人共同负责保修时不能及时维修,此概率为p2=P{Z≥4}=1-P{Z≤3}=0.0091。由于p1>p2,所以方案B较方案A好。
本问题涉及的是如何有效地使用人力问题,其中包括合理确定人员数和安排工作方式。例如为保证仪器发生故障时,不能及时排除的概率小于0.01,配备8人即可达到要求,若安排人员过多,就会造成人力资源的浪费。比较维修方案A和B的结果可以看出:虽然3人共同负责80台仪器,每个人的任务比1人负责20台仪器的任务大,但方案B的安排是合理的,工作质量不仅没有降低,反而提高了,能够保证仪器的正常运转。有效地使用人力、物力和财力,是科学管理的一项重要内容,概率论在这方面可以发挥很大的作用。
大数定律在保险中的应用
大数定律应用在保险学中,就是保险的赔偿遵从大数定律,即参加某项保险的投保户成千上万,虽然每一户情况各不相同,但对保险公司来说,平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数。
假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险,每人每年付120元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时,其家属可向保险公司领得10000元。试问:平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少?保险公司亏本的概率有多大?保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少?
设 Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金,则。E(Xi)=60,D(Xi)=59.64(i=1,2,…,10000)诸Xi相互独立。则表示保险公司平均对每户的赔偿金E()=60,
D()=59.64×10-4,由中心极限定理,~N(60,0.07722),P{59<<61}== 2Φ(12.95)-1≈1。虽然每一家的赔偿金差别很大,但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于60元,在59元至61元内的概率接近于1。
保险公司亏本,也就是赔偿金额大于10000×120=120(万元),即死亡人数大于120人的概率。死亡人数Y~B(10000,0.006),E(Y)=60,D(Y)=59.64。由中心极限定理,Y近似服从正态分布N(60,59.64),则P{Y>120}=1-Φ(7.77)≈0。这说明,保险公司亏本的概率几乎等于0。
如果保险公司每年的利润大于40万元,即赔偿人数小于80人。则P{Y<80}=Φ(2.59)=0.9952。可见,保险公司每年利润大于40万元的概率接近100%。
在保险市场的竞争过程中,在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用,一是降低保险费,另一个是提高赔偿金,而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户。
数字特征在组合证券投资决策中的应用
投资者在选择投资策略时,降低投资风险的有效途径是组合证券投资方式,即投资者选择一组证券作为投资对象,然后将资金按不同的比例分配到各种不同的证券上进行投资以达到分散投资风险的目的。假定投资者选定n种证券,Xi为证券投资期内第i种证券的收益率,它受证券市场波动的影响,其预期收益率和风险分别为Xi的数学期望E(Xi)=μi及方差D(Xi)=σi2(i=1,2,…,n)。n种风险证券收益率向量为X=(X1,X2,…,Xn)T,若X的期望向量μ=[E(X1),E(X2),…,E(Xn)]T=(μ1,μ2,…,μn)T,协方差矩阵,其中σij=Cov(Xi,Xj),σij=σji,σij=σi2(i=1,2,…,n)。且假定∑为正定矩阵。
组合证券投资的收益率为R=wiXi,wi为投资期内在第i种证券投资占总投资额的比例,满足wi=1,wi≥0。则R是随机变量,其数学期望为E(R)=wiμi,方差为σ2=D(R)=wiwjσij。记W=(w1,w2,…,wn)T,FnT=(1,1,…,1)。则组合证券投资的期望收益率和风险可以分别表示为E(R)=W Tμ和σ2=W T∑W。由此可以看出,在选定n种投资证券的前提下,n种证券的预期收益率向量μ及协方差矩阵∑就是已知的(可以根据统计数据给出估计),组合证券投资的收益率及风险都是由投资比例向量W所确定的,投资者可以根据自己的偏好选择投资比例向量。
要想使得投资的期望收益率最大并且风险最小是不可能的,投资者只能在达到一定期望收益率的前提下使组合证券投资的风险最小,或者在愿意承受一定风险的情况下使投资的期望收益率最大。建立组合证券投资决策模型 :
其中μ0是给定的预期收益率。该模型的意义是:在达到预期收益率不低于μ0的情况下使组合证券投资的风险最小。这就是著名的马克维兹均值—方差模型。
概率论与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受。类似的应用问题还有很多很多,从这些案例不难看出,概率论与经济活动是密不可分、息息相关的,它能为经济学提供特有的、严密的分析方法,能使经济学研究理论的表述更清晰准确,逻辑推理更严密。只要合理地运用数学方法,科学地使数学与经济活动完美结合,就能使两者相得益彰,共同发展。
参考文献:
1.茆诗松等.概率论与数理统计[M].中国统计出版社,2000
2.张明军.浅谈数学在金融领域的发展及应用[J].甘肃科技,2009(4)
3.廖炜伟,张伟.运用概率与数理统计对经济分析的探讨[J].北方经贸,2009(4)
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