基于知识学术形态的概率空间的教学探讨

体会冰冷的形式化语言背后那火热的思考。

三、概率——面积的泛化

概率空间的第三个要素就是概率。事件A的概率以P（A）表示，它是一次随机试验中，事件A发生可能性大小的数量指标。

一个随机事件发生可能性的大小是其自身的特性，就好比一支粉笔的长度，一块桌面的面积。概率是随机事件发生可能性大小的度量，因此我们认为在教学实践中首先应该强调概率的测度属性——概率是面积的泛化。概率的测度属性是其最本质的数学特征。

如何确定一个给定事件的概率大小？ 答案是采用适当的方法去“测量”它。

古典概率就是在古典概型中概率的赋值方法。这个模型要求满足两个条件：一是样本空间是有限集；二是样本点是匀质的。在这样一个模型中概率的计算公式就是有利样本点的个数除以总的样本点个数，这是容易理解的，但需要注意三个问题。

一是样本空间的粒度与具体问题的关系。正如前文所言，不同的样本空间的粒度可能会带来解决问题的难度不同，也就是说模型有优劣之分，但我们认为这不应该成为教学的重点。学生经常犯的错误是分子分母使用的计数方式不一致，比如分母考虑了顺序，而分子没有考虑，这相当于分子和分母是从不同的样本空间计数得到的。

二是样本点匀质性是个基本假设，在实际应用中，往往由对称性或某种均衡性来判断基本事件的等可能性。但有些时候只凭主观对物理性质或几何对称性的判断是不完全确切的。例如一个平常的掷骰子试验，出现1点，2点，……，6点的可能性似乎都是一样的，但仔细分析可知，由于骰子各面所刻点数不同而导致其重心偏离其几何中心。这属于模型与现实的问题，模型总是现实的近似。

三是计数的繁杂性。计数的精巧训练无助于对概率的理解，计数问题有些是很有难度的，老师们常常也是先看答案，再想推导。我们认为计数方法的教学不宜太深入，学生能够掌握几种基本模式就可以了。

几何概率是在几何概型中概率的赋值方法。这个模型和古典概型相同点是要求样本点的匀质性，不同点是样本空间是无限集。概率计算公式不能再用“计数”（测度），而应该用“长度”、“面积”、“体积”等测量值。在具体问题中样本点的匀质性通常都是近似满足，与古典概型一样，这属于模型与现实的问题。

回到前文关于事件域的论述，我们只要对事件域中的事件赋值一个合适的概率就可以了。也就是说，我们要确定一个定义域是事件域的函数P：F→[0，1]，在数学中我们暂且不管如何确定这个集函数，而是关心它应该满足什么样的性质，这正是数学的公理化思想。

定义3[1] 设F是一个事件域，P（·）为定义在F上的实值集函数，若它满足：

则称P（·）为事件域F上的概率（测度）。其中P（A）就称为事件A的概率。

概率的公理化定义是概率本质属性的体现，本身不能计算概率。古典概率、统计概率、几何概率都是在一定的场合下，给概率赋值的方法，它们都满足公理化定义，都是概率。可见概率的公理化定义刻画了概率的数学本质。事实上，在事件域F上给出一个函数，且满足定义3的条件，就被称为概率；否则，就不能称为概率。

根据这一定义，我们就能对概率执行各种运算，并得到逻辑演绎下的很多有用的结果，因此我们还是别对这种抽象的定义抱有怨言了，对公理条件给出朴素而直观的理解才是正道，接受公理化方法是现代数学的基本方法之一。

学生在学习概率论时，已经在先修课程（比如线性代数中）有了数学公理化思想的初步训练，因而在概率空间的教学过程中概率的公理化定義是能够接受的。最重要的是，在教学过程中引导学生直观地理解其中的三个条件，尤其是对概率可加性，可以结合后面概率的性质（如单调性和连续性）进行研究性学习。同时鼓励学生大胆探索，了解一些在人工智能领域非常有用但不满足可加性的非概率测度，比如信任测度与似然测度，可能性测度与必然性测度等。旨在使学生感受到抽象的形式化表示，背后蕴涵的想法是直观的。

有了概率空间这个平台，随机变量就可以出场表演了。通俗地讲，随机变量就是一个会随着试验结果不同而变化的量。正式地讲，随机变量是定义在样本空间，取值于实数（向量）的一个函数而已，对这个函数的唯一限制由事件域完成，即要求这个函数不超过任意一个实数所对应的样本点组成一个事件。与微积分研究函数不同，对于随机变量，人们更多地关心其取值（值域）情况。具体而言，对随机变量的描述有两个角度。一是研究随机变量的所有可能的取值及其伴随的概率大小，二是考察随机变量的一些特征描述，这两个角度分别对应了随机变量的分布函数和数字特征，概率论的内容大体如此。

四、结束语

学习三元组（Ω，F，P）能够帮助我们迅速理解概率论中的很多理论，借助概率空间，很多原本似是而非的概念与性质将变得清晰而严密。学生在感受形式化语言所特有魅力的同时，受到数学演绎逻辑思维的训练。

在教学活动中，如果教师能适时而巧妙地启发学生，从朴素的想法出发，学生对形式化语言所描述的抽象定义是可以理解的。教师应当帮助学生理解冰冷的形式化背后，数学家是怎么思考问题的，从而获得数学思想的熏陶，得到良好的情感体验。

很多学生大学毕业进入社会后，感觉大学所学的数学知识没有什么用，很快就忘掉了。但是，不论他们将来从事什么职业，那种具有朴素想法支撑的数学思想、数学思维方法、数学表达方法等，却会潜移默化地发挥作用，使他们终生受益。

本文是笔者多年来在概率论教学和研究的结果，主要是从概率空间的学术形态考虑，针对概率空间的三个要素的教学，得到的一些体会和经验。目的是探讨在一定的学术水准上如何能够精准把握教学内容，实现知识学术形态向师范形态的有效转换，帮助学生克服对形式化描述公理化定义的恐惧心理，让学生理解形式化背后的朴素想法，有利于创新思维的培养。

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