函数极限的求法探讨

摘 要:求函数极限的方法很复杂也有很多,在这里简要的介绍了以下十种常用方法:(1)两边夹法则;(2)两边夹法则的推广形式;(3)洛必达法则;(4)通过等式变形化为已知极限;(5)级数法;(6)用等价无穷小替换;(7)自然对数法;(8)利用积分中值定理;(9)因式分解法;(10)用变量替换。

关键词:极限;求函数极限的方法

中图分类号:OI

文献标识码:A

文章编号:1672-3198(2010)12-0360-01

极限论是数学分析的基础,它贯穿着整个数学分析,极限问题也是数学分析中的困难问题之一。求函数(数列)的极限方法有很多也很复杂,对于一些根据基本定义性质直接求极限问题(如:根据定义求极限,函数和差积商的极限运算法则,利用函数连续性求函数极限等等)就不多作说明了,在这里简单概括一些我们常用的求函数极限的方法。

1 两边夹法则

要点 当极限不宜直接求出时,可考虑将求极限的变量,作适当的放大和缩小,得到易于求极限且极限相等的两个新变量,则原极限存在,且等于此公共值。

例1 求limx→0x1x([a]表示不大于a的最大的整数)。

解:由于1x-1<1x≤1x(x≠0)

则有当x>0时,1-x<x1x≤1,当x<0时,1-x>x1x≥1,

故limx→0x1x=1。

2 两边夹法则的推广形式

要点 当使用两边夹法则时,若放大与缩小所得变量的极限值不相等,但两者只相差一个任意小量,则两边夹法则任然有效。

例2 设f(x)>0,在[0,1]上连续,试证limn→∞n∑ni=1finn1n=max0≤x≤1f(x)。

证:令M=max0≤x≤1f(x),则xn=n∑ni=1finn1n≤M(1)

因为f(x)在[0,1]上连续,根据闭区间连续函数的性质,x0∈[0,1],s.t.f(x0)=M.

于是ε>0,δ>0当|x-x0|<δ,x∈[0,1]时,有M-ε

当n充分大时有1n<δ(即分点in的间距小于δ),i0,s.t.i0n-x0<δ,fi0n>M-ε.

故xn=n∑ni-1finn1n≥nfinn1n>(M-ε)1nN(2)

由(1)(2),有(M-ε)1nn≤xn≤M.

左端极限为M-ε,右端极限为M,由ε>0的任意性,知limn→∞xn=M。

3 洛必达法则

要点 (00待定型)若limx→x0f(x)=0,limx→x0g(x)=0,f(x),g(x)在x0的去心邻域Uo(x0)内可导,且g′(x)≠0,limx→x0f′(x)g′(x)=A,则limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A。

(∞∞待定型)若limx→x0f(x)=∞,limx→x0g(x)=∞f,(x),g(x)在x0的去心邻域Uo(x0)内可导,且g′(x)≠0,limx→x0f′(x)g′(x)=A,则limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A。

注意:0•∞,∞-∞,00,1∞,∞0等待定型都可化为00或∞∞型,所以也可以用洛比达法则求值。

例3求limx→0exsinx-x(1+x)x3。

解:limx→0exsinx-x(1+x)x3=limx→0exsin+excosx-2x-13x2

=limx→0exsinx+2excosx-exsinx-26x

=limx→0excosx-13x=limx→0excosx-exsinx3=13。

4 通过等式变形化为已知极限

要点 当极限不宜直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的等式变形,得到已知极限的新变量。

例4 求limx→+∞x+x+xx+1。

解:limx→+∞x+x+xx+1=limx→+∞1x+1x3+1x51+1x=0。

5 级数法

要点 级数法一般是利用麦克劳林级数f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f″(0)2!x2+…+Rn(x)将函数展开,取有效部分求极限。

例5 求limx→+∞6x6+x5-6x6-x5

解:原式limx→+∞x(1+1x)16-(1-1x)16

=limx→+∞1+16x+o1x2-1-16x+o1x2=13。

6 用等价无穷小替换

要点 在求当时函数极限时,常用以下等价无穷小进

行等价替换:

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex-1~x,ln(1+x)~x,1-cosx~x22,ax-1~xlna,n1+x-1~xn,(1+x)α-1~αx等。

例6 求limx→0arctanxln(1+sinx)。

解:limx→0arctanxln(1+sinx)=limx→0xsinx=1。

7 自然对数法

要点 对于幂指函数y=u(x)v(x)的极限在多数情况下都不能单纯的利用常规方法求解,这时可采用对数法对函数取自然对数,再求极限。

例7 求limx→0+(cosx)1lnx。

解:令y=(cotx)1lnx,则lny=ln cotxlnx,

limx→0+ln cotxlnx=limx→0+tanx•(-csc2x)1x=-1,

因此limx→0+(cotx)1lnx=e-1。

8 利用积分中值定理

要点 一般根据积分第一中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,则ξ∈[a,b],s.t.∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)。将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限。

例8 求limε→0+∫101εx3+1dx

解:由积分中值定理∫101εx3+1dx=1εα3+1(0<α<1),

limε→0+∫101εx3+1dx=limε→0+1εα3+1=1。

9 因式分解法

要点 如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限,即可利用此方法求变量极限。

例9 求limx→π24sin2x-3sinx-1sin2x-3sinx+2。

解:limx→π24sin2x-3sinx-1sin2x-3sinx+2=limx→π2(4sinx+1)(sinx-1)(sinx-2)(sinx-1)=limx→π24sinx+1sinx-2=4+11-2=-5。

10 用变量替换

要点 为了将未知的极限化简,或转化为已知的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程,转化为新的极限过程。

例10 求limn→∞ne-(1+1n)n。

解:令x=1n,则limn→∞ne-(1+1n)n=limx→01xe-(1+x)1x=limx→0e-eln(1+x)xx

=limx→0e-ee-x22+o(x2)xx=elimx→01-e-x2+o(x2)x

=elimx→01-[1-x2+o(x)]x=e2。

极限问题是一个极为复杂的问题,在这里也仅仅是将十种常用的方法简要的说明和举例,还有更多的方法有待我们寻求、探讨。

参考文献

[1]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1978.

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