贝叶斯公式及其应用
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【摘要】本文介绍了贝叶斯公式的产生和发展过程，同时证明了贝叶斯公式。贝叶斯公式可以在一定信息下，对特定条件下事件发生的概率进行推理分析。同时以实例介绍了贝叶斯公式在医疗诊断、诉讼以及工厂产品检查中的应用。
【关键词】贝叶斯公式 条件概率 全概率公式
【中图分类号】O21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0119-02
一、贝叶斯公式的发展
贝叶斯 （Thomas Bayes），诞生于英国，数学家。他在数学领域钻研概率论。曾任神甫一职，对上帝的信仰推动他在该领域不断深入，而发明了概率统计学原理。令人悲伤的是，他的夙愿至死未果。在之后一段时间内，贝叶斯学派的观点受到其他学派人士的批评、质疑而使人们对贝叶斯公式的研究并不深入。
经过一代代人们的研究，不断创新、完善，为著名的贝叶斯学派的发展夯实根基。在概率论中，他勇于创新将归纳推理法应用至概率论基础理论，随后创立了贝叶斯统计理论，他1758年发表的《机会的学说概论》，影响深远。
经过漫长的时间，不断的验证以及信息技术的飞速发展，在20世纪60年代，贝叶斯统计学脱颖而出，成为国际统计科研究重点。
二、贝叶斯公式及其证明
条件概率和全概率公式是证明贝叶斯公式的基础。我们将会先介绍条件概率以及全概率公式，进而对贝叶斯公式进行证明。
条件概率，即指在B事件发生的条件下， A事件发生的概率，可以以P（A"B）的形式来表示其中A，B有相交部分。事件A发生的概率就是P（A∩B）除以P（B），即：P（A|B）=■。根据条件概率的定义，可以知道P（A∩B）=P（B） P（A|B）和P（A∩B）=P（A）P（B|A）。所以有P（A|B）P（B）=P（B|A） P（A），即：P（A|B）=■，为全概率公式。
对条件概率式子变形可得P（A|B）=■P（A）。该公式中，我们称P（A）为“先验概率”，先验概率即指在事件B发生以前，对事件A概率的重新评估。P（B|A）/P（B）称为“可能性函数”，可将之作为调整因子，使得到的预估概率更加准确。
关于全概率公式，先假设有一样本空间S，是两个事件A与A"的和，有一事件B分别与A与A"都相交，在这种情况下，事件B将由两部分构成，一部分与A相交，表示为B∩A，另一部分与A"相交，表示为B∩A"。全概率公式的含义为：若A和A"构成样本空间的一个划分（A和A"相互独立，即A"=A），则B发生的概率，便是A和A"事件发生的概率分别与B对这两个事件的条件概率相乘再作和，即：
P（B）=P（B∩A）+P（B∩A"）
已经得到P（B∩A）=P（A）P（B|A），所以有P（B）=P（A）P（B|A）+P（A"）P（B|A"）。此为全概率公式，将之带入条件概率公式，便有：
P（A|B）=■
即得到贝叶斯公式。
三、朴素贝叶斯算法
朴素贝叶斯分类是一种很单纯的分类方法，即对于所有的待分类项，选择在已知条件下，最可能出现的分类，即选择概率最大的分类。大致阶段可分为：准备工作阶段、分类器训练阶段、应用阶段。
定义如下：
1.设x={a1，a2，…，am}为一个待分类项并且对于一个a，便有一个x的作为对应的特征属性。
2.有类别集合C={y1，y2，…，yn}。
3.计算P（y1|x），P（y2|x），…P（yn|x）。
4.如果，P（yk|x）=max{P（y1|x），P（y2|x），…，P（yn|x）}则x∈yk。
然后算第三步中的每一个条件概率：
1.以一个已知的分类的所有待分类项集合作为训练样本集。
2.则每个特征属性的条件概率可以表示为：
P（a1|y1），P（a2|y1），…，P（am|y1）;P（a1|y2），P（a2|y2），…，P（am|y2）…;P（a1|yn），P（a2|yn），…，P（am|yn）
3.假设特征属性是条件独立的，由贝叶斯定理得P（yi|x）=P（x|yi）P（yi）/P（x）。分母对于所有类别为常数，我们只要将分子最大化。并且由于各个特征属性之间是条件独立的，所以有：
P（x|yi）P（yi）=P（a1|yi）P（a2|yi）…P（am|yi）P（yi）。
四、贝叶斯公式的应用
1.贝叶斯公式在医疗诊断上的应用
假设全球的肝癌的发病率为0.0004，可以通过甲胎蛋白法进行检查。但是，用该方法得到的结果不一定正确。其中得肝癌的人的化验结果99%呈阳性，即患有肝癌;且未得患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性，即未得患肝癌。若有一人的甲胎蛋白检查呈阳性，则他患肝癌的概率是多少？
解：设B为“被检查的人得肝癌”，A为“甲胎蛋白检查为阳性”，由题意可得：
P（B）=0.0004，P（B）=0.9996，P（A|B）=0.999，P（A|B）=0.001
我们现在要求出P（B|A），由贝叶斯公式得
P（B|A）=■=0.284
由此可見，检查结果为阳性的人中，只有28.4%的可能真正患有肝癌。为何如此呢？
假设有10000人作为本次检验的样本，根据肝癌发病率，则只有4人真正患肝癌。在该检测中，呈阳性的人包括真正的肝癌的人以及误诊者，误诊者计算为P（A|B）P（B）=0.9996×0.001，而使结果为28.4%精度较小。
这样的检测精度并不理想，但可以通过复查来进一步提高检验的精度，或者先用某种辅助方法初查，排除部分未患肝癌的人，再将余下的人用该方法检查，用贝叶斯公式可以计算：
假设此时的P（B）=0.284，那么有：
P（B|A）=0.284×0.99/（0.284×0.99+0.716×0.001）=0.997
可以看出检测的准确率大大的提高了，这也是医院中为什么会需要进行复查才能大概率确定相应的患病！
2.贝叶斯公式在检查产品中的应用
在一服装厂中生产的服装劣质品率为0.1%，需要用特殊的机器检验，但该机器判断错误的可能性为5%，试问服装厂是否可使用该仪器？
解：其中用A指代“本身为劣质品”，事件B表示“经检验判为劣质品的产品”，由题意知：
P（A）=0.001，P（A）=0.999，P（B|A）=0.95，P（B|A）=0.05
由贝叶斯公式可计算“被检验出的劣质品中实际劣质品率”为：
P（A|B）=■≈0.0187
同理，经过机器检验，判断为正品的衣服中实际正品率为：
P（A|B）≈0.99995
由此可知，若这种产品的制造价格较高，管理者就最好不要购买使用这种仪器。由以上计算可以看出，这种仪器所判定的劣质品中，其实有98%以上为正品，所以，若用这种仪器，精准度不高而且会有过高的消耗。但同时，该仪器对于正品的判定情况较好，可以通过对被认定为劣质品的产品中重复检验而提高该机器的精准度，减少对产品的消耗。
五、结论
通过本次的研究，我对贝叶斯公式的起源、发展、原理、证明、应用等方面有了更加深刻的认识。
随着经济、医学等各个领域飞速发展的今天，作为新时代的公民更应该以理性、具有逻辑的思维看待我们所面临的问题，通过对贝叶斯公式的应用，我们可以对现有的信息进行考察分析，而综合判断事件的因果概率，提高结论的准确性、科学性、可信性，除此之外在机器学习中贝叶斯也极为重要，有助于我们对未来经济、医学、自然科学更加合理的认知。
参考文献：
[1]王梓坤.概率论基础及其应用[M].科学出版社，1976.