参数假设检验问题的教学与思考

【摘  要】假设检验理论是概率论与数理统计课程中的重要内容，本文通过分析学生在学习该理论时存在的一些问题，提出在教学中采用理论联系实际，让学生自主思考的方法，并通过分析单边假设检验问题说明如何选取原假设与备择假设。

【关键词】假设检验  教学方法

【中图分类号】G642           【文献标识码】A           【文章编号】1674-4810（2014）33-0048-02

概率论与数理统计作为工科学生的必修课，它的教与学尤为重要，其中假设检验理论是重点内容。如何清晰、生动地讲解理论思想，让学生在面对实际问题时不仅仅只是套用公式，成为教学中的一大挑战。

简单地说，假设检验是根据样本提供的信息来检验关于总体的某个假设是否成立，做出是接受还是拒绝的决策。下面以一个简单的例子引入假设检验理论思想。

一 假设检验理论基础

例1，正常情况下事件A发生的概率是0.5，现在独立重复实验了1000次，事件A发生了450次，是否可以认为事件A发生的概率仍是0.5？

分析：将事件A作为总体，假设事件A的概率仍为0.5，用事件B表示1000次实验中事件A发生了450次，则，因为事件B的概率很小，认为事件B是一个小概率事件，而现在事件B发生了，那么根据概率论中的小概率原理：在一次实验中，小概率事件发生的可能性很小;可以认为假设不成立，即。

上述过程体现的就是假设检验的核心思想，即根据实际问题提出假设，选取合适的小概率事件作为检验标准，确定拒绝域，再根据抽样数据计算结果做出拒绝还是接受假设的决定，这里的假设记为原假设，通常以相反的假设为备择假设。可以看出，假设检验过程是反证法和小概率事件原理的结合运用。

二 教学中学生存在的主要问题及解决方法

在实际教学中发现，学生在了解假设检验思想以后，面对一个实际问题时最大的难点在于不知道如何给出原假设和备择假设。首先这需要考虑假设检验理论的建立基础，给出选取假设时应该遵循的原则;其次根据实际问题需要，最终选取合理的原假设与备择假设。

假设检验理论是建立在保护原假设的基础上的。因为根据理论，只有当小概率事件发生时，我们才认为原假设不成立，而在一次实验中小概率事件几乎不可能发生，这就是说原假设中的内容是容易“证明”的，备择假设中的内容是不容易“证明的”。如法律案件中，法官在审理案件时遵循的前提是嫌疑人无罪。相对来说，要证明嫌疑人有罪比证明其无罪更难，那么当不能证明嫌疑人有罪时就判定其无罪，这是符合“人性本善”道德理论的。那么在实际问题中，对总体的检验问题中需要保护的是什么，就需要具体问题具体分析。当总体分布形式已知时，检验关于总体分布所含未知参数的一些假设是否成立，就是所谓的参数假设检验问题。下面我们仅讨论此类问题。

例2，某大学学生的英语四级成绩X服从正态分布N（68，36），现在抽取100名学生的英语成绩，算得平均值为70分，问学生的英语成绩正常吗？

分析：如果学生的英语成绩仍然服从正态分布N（68，36），那就认为学生学习情况正常。通过假设检验之前的学习，我们知道总体（英语成绩）的分布是由以往经验所得，一般情形下，我们是倾向于经验所得的结论，所以应当保护该结论——X服从N（68，36），于是以“均值等于68”为原假设比较合理。

有些实际问题需要根据抽样结果去检验总体均值是否增大或减少，如生产工艺的改进是否提高产品的合格率，此时进行的是单边假设检验过程，下面通过对三个例子进行分析，说明如何给出此类问题的原假设与备择假设，其中关键是根据样本数据得到题目中隐含的假设倾向。

例3，某工厂生产A、B两种机械零件，它们可以彼此代替使用，只是B零件比A零件制造工序少，从而造价低。经过实验获得抗压强度数据（单位：kg /cm2）分别为：A：87，88，83，89，92;B：88，90，89，85，87。已知A、B两种零件的抗压强度分别服从正态分布N（μ1，σ2），N（μ2，σ2）。问在保证抗压强度的前提下，是否能用B代替A？

分析：因为两种零件可以互相代替使用，但是B零件的造价低，所以在保证抗压强度的前提下，有用B代替A的倾向。在这种倾向下，以“μ1≤μ2”即B的抗压强度不小于A的抗压强度为原假设，以“μ1>μ2”为备择假设。

例4，某彩钢企业生产彩钢瓦的长度（单位：厘米）X服从正态分布，原来的加工精度要求方差不超过0.16，在经过一段时间以后，为检验生产机械是否还保持原来的加工精度，抽取样品40个，测得样本方差为0.248，问：根据样本数据能否认为该机械还保持原有的加工精度？

分析：该题是对加工精度进行假设检验，因为总体X的均值未知，所以选取关于样本方差的统计量作为检验统计量，而样本方差大于总体方差，显然倾向于机械能保持原有的加工精度，故以“方差不大于0.16”作为原假设，以“方差大于0.16”为备择假设。

例5，检验一批钢材的直径，从其中随机抽取40根并测量其直径，算得平均值为13.5cm，设钢材直径服从正态分布N（u，9），问：能否认为这批钢材的直径在13cm以上？

分析：该题是对总体均值进行假设检验。如果以“总体均值大于13”为原假设，因为样本均值已经大于13，则无须检验就可知道接受该假设的概率较大，所以这样假设不合理，从而隐含的假设倾向是总体均值不大于13，故应以“总体均值不大于13”为原假设，以“总体均值大于13”为备择假设。

三 结束语

一般来说，原假设与备择假设的选取不是唯一的，但根据假设检验理论可知，它有保护原假设的前提，因此要充分考虑到实际问题中的保护倾向，从而使选取的原假设更加合理。

参考文献

[1]周圣武主编.概率论与数理统计[M].北京：煤炭工业出版社，2007

〔责任编辑：庞远燕〕

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