基于变构模型的概率密度函数的教学探索

【摘要】笔者把变构模型理论应用到教学中去，对概率密度函数的教学问题进行了有益的探索.借助于学生的先拥概念提出了一种新颖的概率密度函数的教学导入方式，分析了概率密度函数的说明功能和应用功能，结合统计方法揭示了概率密度函数的本质属性.

【关键词】变构模型；概率密度函数；统计；直方图

【基金项目】山东省教育科学“十二五”规划课题资助项目（YBS15002）.

一、引言

概率密度函数是概率论课程中的一个重要的概念，它在科学和工程的许多领域中都扮演了非常重要的角色，是我们研究连续型随机系统及解决相关问题的必要工具，是广大的工程技术人员和教育工作者感兴趣的研究课题，许多文献中都有相关的论述和结论[1-5].

数学是对客观世界的反映，它当然应该为社会实践服务.许多科技工作者把概率密度函数与他们的专业背景结合起来，得到了许多重要成果.文献[6]研究了一种面向非线性随机系统稳态响应的概率密度函数形状控制方法.利用Fokker-Planck-Kolmogorov方程，导出了概率密度函数指数部分的泰勒展开式系数与系统控制增益之间的关系，并将相应的控制问题转化为一个非线性跟踪优化问题，针对该优化问题提出了相应的粒子群优化算法，得出了最优控制增益.文献[7]研究了岩土参数的概率密度函数在岩土工程可靠性分析中的应用问题，根据试验样本矩利用数值逼近方法和勒让德正交多项式来拟合岩土随机参数的概率密度函数，并根据有限比较法确定了其中的最佳分布概型，所得到的逼近表达式有很好的拟合性，数值计算方法可行，能够满足岩土工程可靠性分析的要求.

教育担负着为社会培养人才的重任，落实到每门课程的教学都责任重大，教学质量直接关乎能否培养出高水平的人才.因此，广大的教育工作者进行教育教学研究的热情也十分高涨.概率密度函数是概率论教学中的教学重点和难点问题，近些年来涌现出许多的教育教学研究成果.文献[8]探究了利用牛顿元素法求连续型随机变量函数的概率密度的方法问题，所提出的方法不仅与求离散型随机变量函数的概率分布的计算方法相类似，而且新方法更加直观简便，特别是在求解复杂的随机变量函数的概率密度函数时，此方法显得更加优越.文献[9]探讨了利用正态分布逼近统计量分布时的最小自由度的估计问题，研究了采用等距抽样和简单随机抽样两种不同抽样方式下，当自由度不同情况时抽样分布与其渐近正态分布在分布函数上的绝对偏差.建立了均方绝对偏差与抽样分布自由度之间的非线性回归方程，并借助统计图形分析，提出了满足偏差精度要求的运用正态分布近似计算的最小自由度的估计方法.但是，目前关于概率密度函数的教学普遍还是采用传输式模式进行的，基本是按照教材进行直接传授，结果是学生难以真正透徹地理解其由来、含义及功用等一系列问题.虽然一般性的问题学生能够解决，但那也只是在初步理解基础上的一种模仿，难以吃透，也谈不上借助于教与学提高素质发展能力.笔者把变构模型理论引入到概率密度函数的教学中去，效果良好.所谓变构模型[10]，概括地说，就是知识的学习以及能力与素质的提升需要学生利用其先拥综合构架提供的知识储备、思维模式和评判体系，并借助于这一知识和思维的多维框架，在适当的学习境脉和教师的教学干预中对所研究对象进行反复炼制，启动和调用先拥工具及关联，对不同信息进行研究和解码，然后对其进行重塑的过程.这是一个解构和重新建构的过程，通常这两个过程并不是泾渭分明的，而是协同并行的，是对立统一的.在这个过程中，学生的概念体系和心智结构都会发生改变，新知识、新思维与操作模式也就建立起来了.基于变构模型理论，针对概率密度函数教学，我们从离散型随机变量的分布律入手，导出问题，层层分析，引导学生调用相关知识及关联并进行适当教学干预，对问题进行解构并重新建构，从多个方面展开剖析，进行探究式学习，从教学实践来看效果是令人满意的.

二、问题的导入

学习连续型随机变量的概率分布问题，遵循认知规律应从离散型随机变量的分布律讲起.离散型随机变量的分布律也称为质量分布函数，它揭示了随机变量的取值的偏好问题，反映出了离散型随机变量的基本信息.

先解析一个简单例子，假设随机变量X的分布律见下表.

X012

P0.20.10.7

我们来简单分析一下它所包含的信息.上述随机变量的分布律告诉我们：这个随机变量的取值不是均匀分布的，而是有所偏重、有所偏好的，如果进行大量重复试验，那么，随机变量X取值为2的比重大约为七成，取值为0的比重大约为两成，取值为1的比重大约为一成.离散型随机变量的分布律非常直观地告诉我们随机变量取值的偏好.但对于连续型随机变量来说，因为其取值为无穷不可数集，不能机械照搬离散型随机变量的质量分布函数，这种情况下就要调用先拥知识，对问题进行解构.两种随机变量的取值情况不同，但都具有随机特征、取值偏好特征等等，因此，从拓扑意义上来说，它们是有共性的，可是，我们又难以用离散数值来研究连续型随机变量，考虑到与质量分布函数密切相关的分布函数，猜想能否引入一种连续函数来帮助研究连续型随机变量呢？把这些情况摆清楚，学生就会产生解决问题的渴望，教师再给予适当的引导、讲解、干预和思维激励，就可使学生把新知识融入先拥知识的框架中去.一方面，可以读透教材并进行深入的探索，另一方面，他们的能力和素质又可以得到良好的发展.

要研究连续型随机变量的概率分布，当然要从与概率有关的问题入手，自然会联想到随机变量的分布函数.

我们知道离散型随机变量的分布函数在其可导点处的导数为零，对于连续型随机变量X的分布函数，由随机变量的分布函数的性质知，其导数应该为一非负函数.假设连续型随机变量X的分布函数为F（x），并存在非负可积函数f（x）使得F′（x）=f（x），同时假设广义积分

∫+∞-∞f（t）dt

收敛.这种假设并不苛刻，所对应的实际背景在生产实践中随处可见.上述假设告诉我们F（x）是f（x）的一个原函数，而变上限积分∫xaf（t）dt也是f（x）的一个原函数，其中a是一个常数，则存在常数C使得

F（x）=∫xaf（t）dt+C，（1）

由 limx→-∞F（x）=0，可得C=∫a-∞f（t）dt，于是，有

F（x）=∫x-∞f（t）dt.（2）

符合上述规律的随机变量就是连续型随机变量，函数f（x）叫作连续型随机变量X的概率密度函数.

这样导入连续型随机变量的定义及其概率密度函数就自然一些，与直接给出连续型随机变量及其概率密度函数的定义相比，这样处理教学效果好得多.当然，这样并不能解决学生的所有疑惑，需要反复探索研究和知识炼制.在学习了连续型随机变量的定义之后，再来进一步研究其概率密度函数的性质，解释其重要功能，使学生加深对知识的理解.

三、概率密度函数的重要功能

下面将分析概率密度函数的说明功能和应用功能，引导学生进行解构和重新建构，对所学知识进行反复炼制.

由P{a

P{a

由式（2）及分布函数的定义容易得到

P{X>a}=∫+∞af（t）dt.（4）

上述几个式子告诉我们：连续型随机变量X落入某区间的概率等于其概率密度函数在这个区间上的积分，同时，f（x）还揭示了随机变量取值的偏好，关于这个问题到后面再予以进一步解释.计算随机变量落入某区间的概率以及说明随机变量取值的偏好是随机变量的概率密度函数的两个重要功用.

易见概率密度函数具有下列性质：

① f（x）≥0；

② ∫+∞-∞f（t）dt=1；

③ 连续型随机变量X任取一定值a的概率为零，因为

P{X=a}=limΔx→0+P{a-Δx

=limΔx→0+∫aa-Δxf（x）dx=0；

④ 若f（x）在x处连续，则有F′（x）=f（x），

事实上，由导数的定义知

f（x）=limΔx→0+F（x+Δx）-F（x）Δx

=limΔx→0+P{x

四、统计解释

运用元认知对所学知识的掌握进行评估，通过上述分析，学生对于其概率密度函数有了一定程度的理解，但对于其本质属性可能依然不会有太深刻的理解，仍旧需要进一步深入探讨，下面再从统计角度予以解释.

上述解释依然不够直观，概率密度函数到底是怎样描述随机变量的分布状况的，学生仍然会对这类问题及相关问题存疑，这时教师还要进一步干预和引导.下面利用直方图予以进一步讲解，使学生更加透彻地理解概率密度函数.

研究某连续型随机变量X，采集统计数据，找出统计数据的最大值和最小值，并以比最小值略小的值作为左端点，以比最大值略大的值作为右端点做区间，然后将此区间等分，假设分成了n个小区间，记小区间的长度为Δ，数出落入每個小区间内的数据的频数fi，然后自左到右依次在每个小区间上以finΔ为高作小矩形，这样的图形即所谓的频率直方图，这种小矩形的面积就是统计数据落在该小区间上的频率，当n很大时，频率约等于概率.这种直方图的轮廓线接近于概率密度曲线.

看到这种直观解释，学生才能对其概率密度函数有一个比较深刻的理解.

五、结论与认识

把变构模型理论运用到教学实践中去，对概率密度函数的教学问题进行了深入的探索.从离散型随机变量的分布律出发，借助于学生的有关微积分的先拥知识提出了一种新的概率密度函数的教学导入方式，通过分析概率密度函数的说明功能和应用功能，引导学生进行解构和重新建构，对所学知识进行反复炼制，运用元认知并结合统计方法揭示了概率密度函数的本质属性.

在概率论课程的教学中，概率密度函数是教学重点也是难点问题，采用直接传授模式等传统方法进行教学，效果不尽如人意.而把变构模型理论应用到概率密度函数教学中去，引导学生自然地发现问题，实施恰当的教学干预，帮助学生进行解构和建构，从认知、意向、情绪、元认知、潜层认知和感知等多个维度帮助学生进行知识炼制，进而达到其概念的转化，从教学实践来看其效果是良好的.同时，这种方法具有较大的推广价值，对于大学数学教学具有较大的现实意义.

【参考文献】

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[5]王以忠，张化光.一类非线性随机区间系统的指数稳定性分析与综合[J].东北大学学报（自然科学版），2006（3）：252-255.

[6]杨恒占，钱富才，高嵩，江涛.一类随机系统的概率密度函数形状控制[J].系统工程理论与实践，2016（9）：2424-2431.

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[8]朱慧敏.运用Newton微元法求解概率密度函数[J].复旦学报（自然科学版），2011（1）：65-70.

[9]吕书龙，刘文丽.抽样分布渐近正态近似计算中最小自由度的估计与教学思考[J].大学数学，2017（3）：81-88.

[10]焦尔当，裴新宁.变构模型：学习研究的新路径[M].杭零，译.北京：教育科学出版社，2010.

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