关于高等数学课程教学方法的探讨

摘要：高等数学是大学数学的一门重要的基础课，其教学质量对学生素质的培养、能力的提高起着重要的作用。介绍了高等数学课程教学中主要使用的讲授法和发现式教学法，并结合多年的教学实践，具体说明了在教学中如何结合教学内容，改革教学方法，加强数学思想教育，提高学生的创新能力。

关键词：高等数学；教学方法；数学建模；教学改革

中图分类号：G42 ？摇文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）41-0069-03

在我国工科院校多数专业中，高等数学课程是大学生在校期间课时较多，接触时间较早，内容比较经典、丰富的重要基础课。它既是各专业后继课程的基础，也是培养各类人才所必备的数学素质、提高学生解决实际问题能力的需要。当代著名数学家理查德·柯朗曾指出：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成就之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶”。高等数学的研究对象是变量，逻辑性和抽象性比初等数学更强，要使大学生更快地适应从中学到大学的学习方法转变，要求教师必须针对不同的问题采用不同的教学方法和手段。尽管高等数学的教学方法多种多样，但不管采取何种方法，都应对不同的教学内容有不同的侧重，都必须将是否有利于学生创新能力的提高作为基本出发点。现代数学教学方法很多，如启发式问题教学法、引导探索式教学法、研究式教学法、自学辅导式教学法等。

一、讲授法与发现式教学法

高等数学往往采用大班（合班）授课方式，学生人数多、授课内容多、学时数有限。课程教学既要满足不同专业后继课程的需求，也要在教学中逐步培养学生的创新能力。目前高等数学课程教学中主要采用讲授法和发现式教学法。

1.讲授法。讲授法是指教师直接讲解，通过简明、生动的口头语言，向学生系统地传授知识、发展学生智力的方法[1，2]。它是教师使用最早的、应用最广泛的教学方法。其他教学方法的运用，几乎都需要同讲授法结合进行。在大学数学教学中，讲授法主要表现为讲述和讲解。讲述主要是指描述和解释一些数学概念、公式和定理，讲解主要是针对数学公式、定理的推导和论证以及数学问题的计算或证明。作为公共基础课程的高等数学，微积分是主要的教学内容。对大一学生来说，连续性、可导性、可积性的内容抽象而复杂。因此在高等数学课程教学中可采用讲授法。讲授法并非是“注入式”、“满堂灌”的教学方法，其优点主要表现在：第一，课堂效率比较高，能在很短的时间内有计划、有目的地借助于各种教学手段，使学生较多地、经济地获得大量的知识。第二，有利于发挥教师在教学中的主导作用，便于教学过程的控制，能在规定的时间内完成相应的教学任务。讲授法的缺点在于它是一种单向的信息传输方式，过多的使用容易造成学生思维的迟缓和学习的被动，不利于发挥学生的主体作用，不利于学生自学能力的培养。所以在教学中应处理好教师的主导作用和学生的主体作用，把握好课堂教学的节奏，注意因材施教，调动学生的学习积极性，避免学生被动地接受知识，在课堂上忙着做笔记或无所事事。

2.发现式教学法。发现式教学法（或问题教学法）是由美国著名心理学家布鲁纳于20世纪50年代首先倡导的。他认为：“提出一个学科的基本结构时，可以保留一些令人兴奋的部分，引导学生自己去发现它……”；“学生通过发现来掌握学科基本结构，易理解、记忆，便于知识的迁移，能力的发展……”。因此，发现式教学法就是在教学过程中，以所讲授内容的发现动机和进程为主线，通过合理的分析、切近的设问，使发现的本源显露出来。这样，学生便能明了一切，仿佛这些知识就是自己发现的一样。发现式教学法是数学课实现素质教育的一种有效的教学模式[3]。从本质上讲，发现式教学应属于启发式教学的范畴，在教学中易于创造轻松、活跃的课堂气氛，激发学生对所学课程的兴趣、热爱和信心。我们知道，微积分的一些原始的思想可以追溯到很远。例如，公元3世纪诞生的刘徽的“割圆术”就孕育着一些朴素的微积分的思想。在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹分别独立地创立了微积分，这是科学史上划时代的事件，后来形成的极限理论和实数理论进一步奠定了微积分和数学分析的基础，成为今天高等数学课程的主要内容。在高等数学的教学中，发现式教学就是引领着学生，不断地感悟前辈数学家在这些问题上的思想来源、思考轨迹、处理方法，不断地进行着数学应该怎样思考、怎样发现、怎样猜想、怎样证明的训练。其核心就是揭示数学家思维的轨迹，揭示数学发现的本源，所以其教学本质就是一个启发学生思维合理流动的过程。

二、结合教学内容，改革教学方法

传统教学方法过分强调教的一面而忽视学的一面；过分重视知识的传授而忽视能力的培养；过分强调教师讲，忽视学生学；过分重视学生认知，忽视学生的非认知；过分强调统一要求，忽视学生的个性发展。这些弊端在现代数学教育的发展中，暴露得越来越明显了。简单的一句“启发式教学”虽为大家所认同，但操作起来有难度。素质教育与传统教育的根本区别在于它认为思维和能力比知识更重要，在于它把学生的能力、思维的培养，尤其是学生的开拓能力、创新能力的培养放在首位。我们现行的高等数学的教学内容[4]，可以说每一个命题、每一个定理、每一个证明都是众多前辈数学家最闪光智慧的结晶，都是创造性思想、创造性方法最成功的范例。

1.讲授法与发现式教学法侧重概念性、理论性内容。高等数学中的许多重要概念，如极限、导数、微分、定积分等都是从一些不同科学领域中的实际问题经过高度抽象而得到的，它们都是前人开创性工作的结晶，其形成过程本身就是一个个充分体现创新思维的全过程。但教材上编写的内容主要关心的是逻辑性和可信性，而对发现的思维活动过程则往往忽略不提或难以言表。因此，学生看不到鲜活的、原创的思想脉络，只能看到经过简化整理的论证形态，其叙述顺序与发现过程一般是相反的，这是造成初学者难以理解的重要原因。作为教师，不应只满足于让学生承认或接受书上的结果，而要尽量让学生了解知识的来龙去脉，以至模拟知识的（重新）发现过程。为了在课堂上演绎这些概念的形成过程，引导学生积极思考，可在讲授中采用发现式教学法，即教师在学生开始学习新知识时，只给他一些事例或问题，让学生通过思考，自行发现并掌握相应的概念和原理。将讲授法和发现式教学法结合，有利于讲授高等数学中的概念和定理。高等数学课程中的许多定义、定理都来自于实际问题，数学概念的引入来自于解决一些几何、物理问题。在遵从发现进程这条主线的讲授过程中，教师是否善于启发学生自己发现是教学能否成功的一个关键所在。在高等数学教学中采用发现式教学方法要求教师在教学准备中要吃透教材内容，熟悉本课程发展史，以及各知识点联系等，要求对定理或命题有很深刻的认识，要能洞穿其本质和核心，同时要有较强的赋予讲授内容逻辑框架的能力。认识到发现式教学的难点是要明晰发现的本源，在教学中教师要特别重视对学生思维的循序善诱，尤其要重视分析和设问这两个重要环节，掌握分析和设问的技巧，注重学生主体作用的发挥。另外。由于发现式教学是以引导学生自我发现知识的本源为根本的一种教学模式，在教学中不应提出过深的问题，否则会增加学生的压力，造成学生思维上的疲劳。例如在导数概念的教学中，教师应把重点放在如何从曲线的斜率（几何问题）和由作变速直线运动质点的位移求瞬时速度（物理问题），应用极限思想，引导学生深入分析其实质，通过抽象、归纳，得到导数的定义，从而使他们亲自体验概念产生的创新思维全过程，顺理成章地重新“发现”这些重要概念。又如对于Lagrange微分中值定理的证明，可通过倒推发现的办法进行探索分析，构造出满足罗尔中值定理条件的辅助函数。

2.讲练结合的教学方式侧重应用性内容。知识是培养能力的基础，但掌握了知识并不等于就有了解决实际问题的能力。知识要转化为能力，一靠思索，二靠实践。长期的教学实践告诉我们，要真正从以传授知识为主的模式转变为以培养能力为主的模式是很困难的，需要我们花大力气，一步一步地实践下去。高等数学作为大一学生的公共基础课程，是受众广、课时长的课程，对学生数学修养的培养和后继课程的学习都起着重要的作用。高等数学课程的应用性内容，主要是使学生加深对数学思想、方法的领会，提高计算能力和逻辑推理能力。因此不仅需要教师的讲授和指导，而且还应要求学生的参与，通过思考和做题，才能更深刻的体会和熟练地掌握。例如高等数学课程中的计算题和应用题往往灵活多变，解法多样，对每个学生而言，由于受到观察问题的视角以及自身相关知识的局限，往往会受到某种思维定式的影响，只能找到某一种解决方法，有时甚至找不到思路。如果教师能提出问题，组织学生进行讨论，启发大家的智慧，就可从多角度、多途径寻找解决问题的方法。积分的计算技巧性较高，仅靠在课堂上的例题讲解，没有一定量的自我训练，要使学生掌握好积分方法是困难的。因此要通过一定的方式，鼓励学生自己多思考、多练习和总结，引导学生“一题多解、一题多变”，达到活跃思维，提高创新能力的目的。例如在讲解完不定积分的换元法和分部积分法后，可以让学生自己用5种以上的方法计算不定积分∫■dx等。又如在中值定理应用中，辅助函数的构造是一个难点，往往要采用逆向思维，从结论入手。下面以教材中的一个例题来说明[5]。设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，证明至少存在一点c∈（0，1），使得f"（c）=-■。通过分析，由于c≠0，要证明结论处理，只要证明cf"（c）+f（c）=0就行了。而左边恰是函数xf（x）在x=c处的导数，从而不难引导学生构造出满足洛尔定理的辅助函数F1（x）=xf（x），使问题得到证明。但如果该例题就照教材讲到此，学生感觉有些照本宣科。为了启发学生，可提出下面的问题：本题的结论有什么特点呢？进一步引导学生重新构造一个辅助函数F2（x）=x2f（x），则在相同的条件下又至少存在一点c2∈（0，1），使得f"（c2）=-■。如此往下推，学生能自然地通过构造辅助函数Fn（x）=xnf（x），得到至少存在一点cn∈（0，1），使得f"（cn）=-■，其中n=1，2，…。换句话说，学生通过这样的引导，既了解辅助函数的构造方法，又领略了“在区间（0，1），至少有可列个点，使得可列个等式f"（cn）=-■成立”的数学奇异美。

3.融入数学文化，激发学习兴趣。数学教育对几乎所有专业大学生的培养都起着举足轻重的作用。其教育质量关系整个大学的教育质量。但是，大学生能否学好数学，归根结底取决于他们学习数学的积极性与热情，这种积极性与热情是建立在对数学的真正了解基础之上的，兴趣是学习最有效的动力。应该看到，理工科院校各专业大部分学生从中学到大学，都是喜爱数学课程的。曾有学生问道，如何才能学好高等数学？这个问题很难简单回答好。学生从中学到大学，由于教学内容、教学要求等客观条件发生了变化，教师的教学方法与他们以前上课时的差别很大，尤其是不少学生感觉老师讲的例题数量、同类型题目的变形、课后习题的处理等，与中学相比减少了许多，而新的知识点、新课内容不断出现，颇有些应接不暇。要是在教学中不强调课前的预习、不督促学生多阅读教材和适当阅读些参考书、不加强师生间的交流，了解学生的学习情况，片面强调讲授法、发现式教学法的作用，就会使部分同学跟不上课程教学的进度，甚至极少数学生出现畏难情绪，失去对高等数学课程学习的兴趣，影响教学效果。在数学教学中可通过渗透数学文化的思想来激发学生的学习兴趣。教师要有意识地根据教学内容，进行数学文化教育，将数学文化融入教学中，融入数学知识的学习中，让学生时刻感受到数学思维、数学抽象、数学应用、数学美学的力量，感受到数学就在我们身边。高等数学课程中涉及到不少的数学大师，例如牛顿和莱布尼兹外，还有黎曼、柯西、拉格朗日、高斯等。在教学中，可结合教学内容，适当介绍数学史，使学生了解前辈数学家的思考轨迹，激发学生的学习积极性。又如我们在讲到级数收敛的阿贝尔（Abel）定理时，引申到阿贝尔积分、阿贝尔群，并介绍了阿贝尔的生平，不仅使学生了解到仅仅27岁的阿贝尔的数学才华，而且对于鼓励学生努力学习，不断创新也起到了积极作用。再如在极限概念的教学中，可以先通过介绍第二次数学危机，再引出德国数学家魏尔斯特拉斯创造的“ε-δ”精确语言，给出极限的准确描述，帮助学生理解语言中的二重性和的存在性等。

4.融入数学建模思想与方法，提高“用数学”能力。数学语言和符号表示为科学研究提供简洁精确的形式化语言。每一种数学方法都是数学家通过把数学或其他学科的具体问题抽象概括为“纯粹”的数学语言和符号，借助已知的数学知识和方法进行分析、运算和推导，获得重要的启迪和认识，然后再将这些结果返回到相关问题中去。这一过程就是获得数学模型的过程，也就是大家所说的数学建模。因此在高等数学课程教学中应综合使用教学方法，融入数学建模的思想[6]。欧拉说：“一个科学家如果只是做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作”。虽然高等数学课程内容多、课时紧，应用问题数量、难度都相对有限，但教学实践表明，教师完全可以立足课本内容，在教学中结合实际问题，引导学生积极自然顺畅地分析思考，使学生参与问题转化和解决的全过程，从而帮助学生理解概念、定义、定理，领悟数学建模思想，掌握分析解决问题的方法，体会数学与现实世界的紧密联系及强大生命力，从而实现数学的教育教学目标。例如高等数学中最基本的内容——导数、定积分和二重积分等，就是把几何学中平面曲线切线的斜率、曲边梯形的面积、曲顶柱体的体积以及物理学中的变速直线运动的路程、变力所做的功、液体的静压力等具体问题，抽象概括为“纯粹”的数学语言和符号，并通过对各种纯粹的数学的量、量的关系、量的变化及在量之间进行的一系列推导和演算，获得一系列重要的结果。这种经过抽象与概括后的分析、推导所得的结果（即数学模型）适用于一切具有共同前提的所有问题。它不仅简明扼要，而且表达内容准确深刻，是其他任何语言都无法比拟、无法取代的。在教学中，使学生深刻理解这一点，并学会把问题用数学语言和符号表达出来，然后再去求解，这一点既是学好数学的关键，也是运用好数学知识解决实际问题的前提。

高等数学的教学改革任重而道远。激发学生的学习兴趣应成为课堂教学中教师各项工作的出发点和归宿点。我们在教学方法的整体结构上应强调学生学习的独立性、研究性及教学方法的多样性，主动将数学文化、数学建模方法融入到课程教学中，积极探索讲练结合的教学模式，既传授知识，又培养能力。

参考文献：

[1]张爱华.高等教育学[M].石家庄：河北教育出版社，1997：189-199.

[2]黄燕苹.论讲授法在大学数学教学中的作用[C].大学数学课程报告论坛论文集[A].北京：高等教育出版社，2005：252-256.

[3]潘江敏.高校数学发现式教学方法探讨[J].高等理科教育，2003：98-100.

[4]同济大学数学系.高等数学（上、下册）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[5]王绵森，马知恩.工科数学分析（上册）[M].第2版.北京：高等教育出版社，2006.

[6]杨曙光，李治明.数学建模思想方法融入高等数学教学的思考与实践[J].大学数学，2010，26（增刊1）：136-140.

基金项目：重庆市高等教育教学改革研究重点项目（1202033）；重庆邮电大学教育教学改革项目（XJG1103）

作者简介：郑继明（1963-），男，教授，主要从事大学数学教学研究。

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