高等数学中的样例教学

摘 要： 本文给出了作者从数学学习心理学角度对高等数学中样例的思考，提出学生记住和掌握一个例题，就能掌握并灵活运用一系列数学概念和工具的样题选取原则，从而使得学生在高等数学中学习到的概念、方法和思想有了依附点，不至于概念到概念、推理到推理，让学生觉得学到的概念和方法，看得见、摸得着，进而学得更稳固扎实。

关键词： 高等数学 样例教学 选取原则

一、引言

中国文艺有样板戏，例如《红灯记》、《沙家浜》、《智取威虎山》，等等。这些作品运用中国传统和外国艺术形式来表现戏剧的主题，这些样板戏经电影、电视、广播反复播放，在这样一种文艺熏陶下，“穷人的孩子早当家”、“浑身是胆雄赳赳、打不尽豺狼决不下战场”、“智斗、定能战胜顽敌渡难关”、“娘子军连连歌、军民团结一家亲”这样一些场景和表达出的思想为当时的人们所熟知，连不熟悉戏曲的男女老少都能哼唱几句。撇开样板戏，作为重要基础课程的高等数学，它所引入的许多概念、方法如果能通过选取的样板例题来传递，让学生通过反复学习和研摩样板例，来体会数学思想，灵活运用数学概念和方法，那么样板例题选取的研究工作就是有意义的。

二、选取准则

从心理学角度来说，教师提供给学生的新材料知识如果缺乏潜在的意义，即新知识与学生认识结构中的有关知识无法建立空质的联系，原有知识不能同化新知识，而获得明确而稳定的意义，而只是靠死记硬背获得知识；或者学习者缺乏积极主动学习心向，而处在被动状态；那么所学材料与学习者认识结构中原有的观念的适当部分只是建立起了暂时的、生硬的、表面的联系，所学习的知识很快就会被学习者遗忘。另外，在教学内容的选择上，如果教师提供给学生的新材料知识缺乏潜在的意义和迁移的生成能力，那么学生往往就不能有效地加以消化和理解，以达到融会贯通。综合上面的考虑，本文就高等数学样例教学上提出来如下的选取准则并给出相应的样例加以说明。

1.能将所学许多概念和方法“串”起来的样例。

人们的思维活动是从问题开始的，如果教师能通过样例引入问题，分析问题，并在这个过程中引入或复习已学过的概念、方法，以最终解决问题，那么学生在围绕解决问题的过程来学习或复习概念和方法，就会学得自然、牢靠。

例如，物理上光的折射定律表述如下［１］：一束光从点A（0，y），y＞0出发经过界面y=0到达B（x，y），x＞0，y＜0。设光在介质1（y＞0）和介质2（y＜0）中速度分别为v，v。

证明：折射定律=等价于光以最短的时间从点A到达点B，其中α，β分别是入射角和折射角，进而从数学角度上说明光传波的特性：按用时最短的路径传波。

分析与解答：设光线与界面＄y=0＄的交点为变量x，则从A到B需要的时间为

t（x）=+，x∈（-∞，+∞）。

该例给出如何建立函数模型，将所研究的问题转化为数学问题一个范例。运用连续函数介值性定理和函数的严格单调性证明了极值点存在和唯一性。该例研究函数的最小值是一个全局问题，将其归结为±∞的局部性质（极限）、极值点候选点存在性、极值点判定等研究，这是一个将全局问题转化为局部问题研究的范例。该例题中学生可以体会到极限的应用，导数在研究函数单调性上应用，可导极值点的必要条件，函数连续性在零点存在性问题上应用。

学生熟练掌握该例就能对极限、连续性、导数、最值问题求解步骤有个感性的认识。

类似地，从物理、化学、生物或其他工程技术邻域提出典型样例帮助理解和掌握高等数学中概念和方法的做法，以及从数学角度来理解一些大自然最优规律很有意义。

2.能帮助理解和记忆抽象概念、性质，实现从具体到抽象的过渡的样例。

高等数学中定积分及其性质比较抽象，学生掌握起来较难，这时可以选取一个具体的例子加以讲解，来帮助学生来理解和掌握这些性质。高等数学中定积分就是一维长度向平面区域面积的推广，定积分存在与否实际是与平面区域面积是否有定义密切相关的。那么定积分存在被积函数具有什么特征呢？

例如Rimanne函数R（x）=1/q，x=p/q∈（0，1），p，q互质0，x=0，1，或为［0，1］中无理数。通过Riemanne函数，学生可以更好认识可积函数的性质：了解一个可积函数可以有很多（可数个）不连续点，但是它仍可以在［0，1］上可积。除此之外，通过Riemanne函数还可以了解如下的可积函数性质。

（1）函数的可积性是一个整体性质：f（x）在区间［0，1］上可积，这时可以改变可数个点处f（x）函数值的定义，则所得新函数仍是可积的且函数的积分值不变。设f（x）≥0，x∈［a，b］且在［a，b］上可积，则?蘩f（x）dx≥0。现在问题是进一步如果存在点x∈［a，b］有f（x）＞0，问是否一定有?蘩f（x）dx＞0？考察黎曼函数R（x），容易知道R（x）在［0，1］上非负且在（0，1）上有理点取正值，尽管取R（x）＞0的点有可数多个，但是仍有?蘩R（x）dx=0。对R（x）＞0的点进行研究发现，这些点一个共同点都是R（x）的不连续点。于是，一个自然问题就是：设f（x）在［a，b］上非负且可积，如果在x∈［a，b］处连续且f（x）＞0，则是否一定有?蘩f（x）dx＞0？回答是肯定的。该例可以引导学生思考对积分值做出影响的是函数定义域中的哪些点或哪些子集。

（2）变限积分函数的可导性：由［1，2］知道如下结论：f（x）在［a，b］上可积，则F（x）=ff（t）dt，x∈［a，b］是连续函数；进一步，若f（x）在x∈［a，b］处连续，则变限积分函数F（x）在点x处可导，且F′（x）=f（x）。一个自然问题出来了，若f（x）在［a，b］上可积，且在x∈［a，b］处不连续，则F（x）是否一定不可导呢？回答是否定的。考虑Riemanne函数，则由积分单调性知0≤G（x）=?蘩R（t）dt≤?蘩R（t）dt=0，于是G（x）当然在［0，1］处处可导。高等数学中一些重要的函数形式就是由变限积分定义的函数，例如lnx=?蘩dt，arcsinx=?蘩dt，除此之外，还有单摆运行周期的函数就是一个由变限积分函数t=?蘩dθ就是一个由变限积分函数。因此借助于黎曼函数来理解对这类函数连续性、单调性、可导性等性质当然是很有意义的。

3.了解问题的来龙去脉并为新课程开启大门的样例。

现在使用的教材中大部分对幂级数和微分方程的关系都放在习题之中，通常是让学生验证某一幂级数是方程的解。如果教师能先通过一个简单微分方程的幂级数解的求解过程，导出幂级数，再来研究幂级数的性质，那么这个过程会使得学生感觉幂级数性质研究是有迫切需要的，也是有意思的。

考察Airy方程［3］y″=xy，x、y∈R的解，其中y″=。

分析与解答：可设方程有幂级数解y=ax。对y进行逐项微分，并调整求和指标，再由幂级数的唯一性，就得到下面的递推公式（n+2）（n+1）a=a，n=0，1，2，…。

故得到原方程的幂级数解为

y=a［1+］+a［x+］，其中a，a为任意常数。

由［2］知，若a≥0且a=0，则=0。易验证上述幂级数解中=0，=0，=0，再由数列极限与子列极限关系知，=0。因此，由幂级数收敛半径的根式判别法知，方程解的定义域为（-∞，+∞）。

该例可以使得学生对幂级数收敛半径及其性质研究意义有了切实体会，并对数学分析中函数的来源有了了解，并提高学生对后继微分方程课程的学习兴趣，以及对以后碰到特殊函数有了感性认识。

三、结语

通过教学实践和与学生的交流，我体会到一个好的教学样例可以更好地帮助学生了解和掌握高等数学中的基本概念、工具，使之学得扎实牢靠。本文给出的几个样例的选取原则意在抛砖引玉，不断思考如何用适当选取的样例来将所教学的知识串起来，让学生好学、好记、好用，提高他们的学习兴趣，并拓宽他们的眼界和思路。

参考文献：

［1］欧阳光中，姚允龙.数学分析（上、下册）.上海：复旦大学出版社，1993.

［2］华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社，2001.

［3］丁同仁，李承治.常微分方程教程.北京：高等教育出版社，2002.

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