函数渐近线在一致连续中的应用

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【摘要】 本文将函数的渐近线的概念延伸到一致连续中，给出了函数一致连续的两个充分条件.

【关键词】 渐近线;连续;一致连续

一、引 言

函数在区间上一致连续是函数更强的连续性，其本质表现为函数在定义域上函数值变化均匀.如何判断函数一致连续，已有大量的文献给出了许多有用的判定方法，如：定义法、导函数有界等.本文将函数的渐近线（以下的渐近线均指函数的斜渐近线）这一概念引入一致连续中，并分别给出了函数在定义域[a，+∞）和（-∞，+∞）上一致连续的两个充分条件，这使得判断函数一致连续变得简单可行.首先，我们先给出渐近线的定义和两个有用的引理用以辅助证明.

二、主要结果与证明

定义1 [1] 若函数f上的定点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某定直线L的距离趋于0，则称直线L为函数f（x）的渐近线，即 lim x→∞ （f（x）-kx-b）=0.

引理1 [1] 若函数f在区间I上满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对I上任意两点x′，x″都有

"f（x′）-f（x″）|≤L|x′-x″|，

则f在I上一致连续.

证  由一致连续定义可知，x′，x″∈I，|f（x′）-f（x″）|≤L|x′-x″|<ε，所以ε>0，δ= ε L ，x′，x″∈I，当|x′-x″|<ε时，|f（x′）-f（x″）|<ε，故f（x）在I上一致连续.

引理2 [2] 若函数φ（x）在[a，+∞）上一致连续且函数f（x）在[a，+∞）上连续，且满足

lim x→+∞ （f（x）-φ（x））=0，

则f（x）在[a，+∞）上一致连续.

证  由 lim x→+∞ （f（x）-φ（x））=0，知对ε>0，M>0，当x>M时，|f（x）-φ（x）|< ε 3 .又由于φ（x）在[a，+∞）上一致连续，对上述的ε，δ1>0，x′，x″>M，当|x′-x″|<δ1时，|φ（x′）-φ（x″）|< ε 3 .所以当x′，x″>M时，

|f（x′）-f（x″）|

=|f（x′）-φ（x′）+φ（x′）-φ（x″）+φ（x″）-f（x″）|

≤|f（x′）-φ（x′）|+|φ（x′）-φ（x″）|+|φ（x″）-f（x″）|

< ε 3 + ε 3 + ε 3 =ε.

另一方面，因为f（x）在[a，M+1]上连续，由Cantor定理知，f（x）在[a，M+1]上一致连续.固定ε，δ2>0，x′，x″∈[a，M+1]，当|x′-x″|<δ2时，|f（x′）-f（x″）|<ε.进一步可取δ=min{1，δ1，δ2}，对x′，x″∈[a，+∞），当|x′- x″|<δ时，有|f（x′）-f（x″）|<ε，所以f（x）在[a，+∞）上一致连续.

现引入定义1中渐近线的概念，则以下定理1保持成立.

定理1  若函数f（x）在[a，+∞）上连续且存在渐近线，则f（x）在[a，+∞）上一致连续.

证  可令引理2中的φ（x）=kx+b（k为有限数），因为φ（x）为f（x）的渐近线，则 lim x→+∞ （f（x）-φ（x））=0.下证若φ（x）在[a，+∞）上一致连续，则根据引理2知f（x）在[a，+∞）上一致连续.事实上，x′，x″∈[a，+∞），存在常数k，使得|φ（x′）-φ（x″）|=k|x′-x″|.由引理1知，φ（x）满足Lipschitz条件，所以φ（x）在[a，+∞）上一致连续，从而定理得证.

注  对形式较为复杂的函数，可以考查该函数的渐近线来判断f（x）在[a，+∞）上一致连续.但这仅给出了函数在[a，+∞）上一致连续的充分条件，若函数渐近线不存在，如xcosx，xsin x ，不能根据定理1说明f（x）在[a，+∞）上非一致连续.下面给出几个有用的推论：

推论1  若函数f（x）在[a，+∞）上连续且渐近线斜率存在，则f（x）在[a，+∞）上一致连续.

证  由渐近线定义可知，若k=lim x→+∞  f（x） x 存在，则b=lim x→+∞ （f（x）-kx）也存在.这保证了渐近线y=kx+b存在，既而由定理1知推论1成立.

推论2  若函数f（x）在（-∞，+∞）上连续且存在两条渐近线，则f（x）在（-∞，+∞）上一致连续.

证  对一元函数来说，f（x）至多存在两条渐近线.存在M>0，在|x|>M上应用定理1知f（x）在|x|>M上一致连续.因为f（x）在[-M-1，M+1]上连续，由Cantor定理知，f（x）在[-M-1，M+1]上一致连续.类似引理2的证明对ε>0，存在充分小的δ，x′，x″∈（-∞，+∞），当|x′-x″|<δ时，|f（x′）-f（x″）|<ε.所以f（x）在（-∞，+∞）上一致连续.

至此我们给出了判断函数[a，+∞）和（-∞，+∞）上一致连续的充分条件，由推论1中的k=lim x→+∞  f（x） x 存在这一条件启发，若给出了一个一致连续性容易判断的函数g（x），f（x）在[a，+∞）上的一致连续与函数g（x）是否存在某种联系呢？我们给出以下定理.

定理2  设函数f（x），g（x）在[a，+∞）上连续，若g（x）在[a，+∞）上一致連续，且

lim x→+∞  f（x） g（x） =A（有限數），

则f（x）在[a，+∞）上一致连续.

证  由lim x→+∞  f（x） g（x） =A，则对充分小的ε>0，M，当x>M时，  f（x） g（x） -A <ε.故|f（x）-Ag（x）|<ε|g（x）|.又由g（x）在[M，+∞）（M≥a）上一致连续知，函数g（x）在[M，+∞）上有界，即A0>0使得|g（x）|≤A0.固定上述充分小的ε，x′，x″∈[M，+∞），当|x′-x″|<δ1时，|g（x′）-g（x″）|<ε.所以

|f（x′）-f（x″）|=

|f（x′）-Ag（x′）+Ag（x′）-Ag（x″）+Ag（x″）-f（x″）|

≤|f（x′）-Ag（x′）|+|Ag（x″）-f（x″）|+|A|·|g（x′）-g（x″）|

≤ε（|g（x′）|+|g（x″）|+|g（x′）-g（x″）|）

<ε（|A|+2|A0|）.

另一方面，由f（x）在[a，M+1]上连续，应用Cantor定理知，f（x）在[a，M+1]上一致连续.可取充分小的ε，δ，对x′，x″∈（-∞，+∞），当|x′-x″|<δ时，|f（x′）-f（x″）|<ε.所以f（x）在[a，+∞）上一致连续.

注  将g（x）在[a，+∞）上换成在（-∞，+∞）上，同理可证f（x）在（-∞，+∞）上一致连续.若已知g（x）在区间I上一致连续，特别地，可取渐近线（g（x）=kx+b），这对判断f（x）在I区间上一致连续是简单可行的.

三、应用举例

例1   证明函数f（x）= 3 2x3-x2+x+1 在[0，+∞）上一致连续.

证  不妨先考查函数f（x）的渐近线，k=lim x→+∞  f（x） x =lim x→+∞   3 2x3-x2+x+1  x = 3 2 ，由推论1知，函数f（x）的渐近线斜率存在，所以函数f（x）在[0，+∞）上一致连续.

另一方面，若取g（x）=2x+1，由引理1知g（x）满足Lipschitz条件（可取L=2），所以g（x）在[0，+∞）上一致连续，且lim x→+∞   3 2x3-x2+1  2x+1 =  3 2  2 ，所以由定理2知函数f（x）在[0，+∞）上一致连续.

例2   证明函数f（x）= 0，x=0，|x| 1+sin 1 x  ，x≠0  在 R 上一致连续.

证  当x>0时，k=lim x→+∞  f（x） x =lim x→+∞  x 1+sin 1 x   x ，b=lim x→+∞  x 1+sin 1 x  -x =1，故函数f（x）的渐近线方程为y=x+1，同理当x<0时，函数f（x）的渐近线方程为y=-x-1，由推论2知，函数f（x）的两条渐近线都存在，故函数f（x）在 R 上一致连续.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：上册（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2000：86.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2006：163-164.

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