妙证平均值不等式
【摘要】本文着重阐述利用高等数学中凸函数的性质和多元函数条件极值来给出平均值不等式具体的证明方法。
【关键词】平均值不等式的证明 凸函数的性质 多元函数条极值
一、凸函数的性质证明平均值不等式
如果函数f （x） 是区间 I 上的凸函数，则对任意 和满足 的， 成立 （Jensen不等式）
例1.1下面用凸函数的性质来给出平均值不等式的证明
即证
证：分析平均值不等式的特点先看不等式可简化为 ，类比 ，可见所给不等式中用连乘类似替换了Jensen不等式中的连加，考虑到ln函数的特点：ln（axb）=ln（a）+ln（b），利用ln函数的特点为突破口来解决问题。
设函数f（x）=ln x，对f（x）求一阶导数，考虑到 对函数求二阶导数 ，因为平均值不等式中要求的其中的任意一个ai都是正数，故 ，因而函数f（x）在定义域上是上凸函数，由函数凸性性质，应用特殊条件下的Jensen不等式可得： 又根据ln函数的特点可得 ，由于ln函数在是单调递增的函数， 故，因此不等式得证。
二、多元函数条件极值证明平均值不等式
使用多元函数条件极值解决含有多个变量的不等式证明时大致有如下步骤
（一）适当选择目标函数f（x），由题目设置相应的限制条件
（二）构造出辅助函数
（三）针对 每一个变量求偏导数，解出稳定点，判断在稳定点处取到极大（小）值，不等式得证
例2.1下面用多元函数条件极值来给出平均值不等式的证明
即证
证：已知平均值不等式中任意的ai都是大于0的，
第一步先选择目标函数记 ，取限制条件
，
第二步做辅助函数：
第三步对 每一个变量求偏导数，以此得到
将 带入 ，得 ，故 为函数稳定点，函数f在 处取得极值，对f求二阶偏导数易知是大于0，因此稳定点是惟一的，f在 处取得最大值 所以可知 ，原不等式得证。
参考文献：
[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析.第二版[M]. 北京：高等教育出版社，2004.
[2]徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京高等教育出版社，1986.
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