函数积分法变系数非线性方程的求解方法研究

【摘要】虽然变系数非线性方程对现实中物理问题有很好的描述，但是其求解非常困难.本文介绍函数积分法在一类变系数非线性方程求解过程中的应用.

【关键词】函数积分法；变系数非线性方程

在非线性科学中非线性问题的求解是一个非常重要的工作，在现实生活中，变系数方程又能较好地对实际物理问题进行描述.由于非线性偏微分方程有着无限多的解，因此给非线性方程的求解带来了极高的难度.目前，虽然有许多能够求解非线性偏微分方程的方法，但是这些方法都是针对常系数的非线性偏微分方程，对于是变系数的非线性偏微分方程，求解的方法还是非常有限.为此，本文研究函数积分法对一类变系数非线性方程的求解.

1.变系数非线性方程的函数积分解法

首先，假定变系数非线性方程

U(t,x,u,ux,uxx,…)=0（1）

的解可以展开成（2）式所示的形式：

u(x,t)=∑Nn=0An(t)Fn，F=F(ξ)，ξ=f(t)x+g(t).（2）

其中An(t)(0≤n≤N)，f(t),g(t)是一些待定的函数，加入在非线性方程的求解过程中，能够将它的各阶的导数转化成为多项式的形式，那么这个非线性方程的求解过程就可以大大的简化.因此，假设变系数方程Fξ=p+qF+rF2中F=F(ξ)，并且ξ=f(t)x+g(t)，其中的p,q,r是常数.

当q2<4pr时，可以通过对方程两边积分得到：

F=4pr-q22r•4pr-q22(ξ+C1)-q2r.（3）

当4pr=q2时，可以通过对方程两边积分得到：

F=-q2r-1rξ+C2.（4）

当q2>4pr时，可以通过对方程两边积分得到：

F=q2-4pr4•C3eq2-4prξ1-C3ep2-4qrξ+q2-4pr-q2r.（5）

其中（3）（4）（5）式中的C1，C2，C3是积分的常数，利用这三个变换，就可以得到一类变系数非线性方程的解.

2.函数积分法在广义变系数KdV方程求解中的应用

首先，将广义变系数KdV方程变形为如下形式：

u=A0(t)+A1(t)F+A2(t)F2，（6）

从而可以根据变系数截断法可以得到：

ut=A0t+pA1ξt+(A1t+qA1ξt+2p+A2ξt)F+(rA1ξt+A2t+2qA2ξt)F2+2rA2ξtF3，（7）

ux=ξx［pA1+(qA1+2pA2)F+(rA1+2qA2)F2+2rA2F3］.（8）

将（7）（8）两式代入（1）式，求解得到：

A2=4r2cξ2x=4r2cf2(t)，A1=4qrcξ2x=4qrcf2(t)，（9）

ξ1+［α(t)+β(t)x］f(t)-rγ(t)A0f(t)+(q2+8pr)•γ(r)f3(t)=0.（10）

由（10）式可以看出，之前的假设是成立的.并通过系数对比，可以得到：

ft=-β(t)f(t)，gt=-α(t)f(t)+3cγ(t)A0f(t)-(q2+8pr)γ(t)f3(t).（11）

从而得到方程的精确解：

u=A0+4qrcf2(t)F(ξ)+4r2cf2(t)F2(ξ)

=A0+4rcf2(t)［qF(ξ)+rF2(ξ)］.(12)

根据（12）式中p,q,r取值的不同，可以得到广义变系数KdV方程的精确解.

当q2<4pr时，

u=e-2∫βdtC0-C2fq2c+(4pr-q2)C2fc•4pr-q22(ξ+C1) .(13)

当q2=4pr时，

u=e-2∫βdtC0-4prC2fc+(4r2)C2fc•1(rξ+C2)2.（14）

当q2>4pr时，

u=e-2∫βdtC0-4prC2fc+4(q2-4pr)C2fc•C3eq2-4prξ(1-C3eq2-4prξ)2.（15）

在（13）（14）（15）式中，若q2-4pr2=1，得到的结果与文献［1］中所得到的结果相一致.对于一类变系数非线性方程使用函数积分法来求解是可行的.

【参考文献】

［1］谷超豪，等.孤立子理论与应用［M］.杭州:浙江科学技术出版社，1990.

［2］杜杰.非线性科学的回顾［J］.南京工业大学学报(社会科学版),2010(2)：68-72.

［3］郭柏灵.非线性演化方程［M］.上海:上海科技教育出版社，2005.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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