以能量为主线的动量守恒问题的探讨

牛顿运动定律、动量观点和能量观点通常称作解决力学问题的三把金钥匙.它们从三个不同的角度研究力与运动的关系.在很多情况下，用动量和能量的观点来处理问题，更加快捷与有效.下面以能量为主线探讨动量守恒与能量相结合的问题.

1碰撞类问题

两小球碰撞的过程中系统动量守恒，根据机械能损失的多少，可将碰撞分为弹性碰撞和非弹性碰撞.通过碰撞或类似碰撞过程，实现系统机械能与其他能量之间的转化.在此类问题中出现最多的是能量损失的最值问题.两个物体组成的系统在动量守恒的前提下，当两物体的速度相等时，往往是系统的机械能(主要是动能)向其他能量转化的值最大之时.

如图1所示，两小球相碰，若碰后两者具有相同的速度，则发生完全非弹性碰撞，系统损失的机械能最大.

如图2所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，当子弹与木块具有共同速度时，子弹与木块系统的动能损失最大，系统产生的内能最大，动能转化为内能.

如图3所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度v0从左端冲上木板，长木板不固定，物块从v0开始作匀减速运动，长木块从零开始作匀加速运动，当长木板的速度为v0时，物块的速度为零.接下来，物块从零开始作匀加速，木板从v0开始作匀减速运动，若木板足够长，当两者具有共同速度时，相对运动停止，系统的动能通过一对滑动摩擦力作功，转化成为内能.

如图4所示，两个磁铁各放在一辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动，已知甲车和磁铁的总质量为0.5 kg，乙车和磁铁的总质量为1.0 kg.两磁铁的N极相对推动了一下，使两车相向运动.两磁铁受到的相互作用力大小相等，方向相反，但甲车和磁铁的加速度较大，故甲车和磁铁减速到零，接下来作加速直线运动，乙车和磁铁则一直作减速运动，当两者的速度相同时，两车最近.在此过程中，两车和两磁铁组成的系统损失的动能转化为磁铁之间的磁场能.

如图5所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L.导轨上面横放着两根导体棒a和b，构成矩形回路.两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计.在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时，棒b静止，棒a有指向棒b的初速度v0.a、b两棒分别在安培力作用下作加速度大小发生变化的减速运动和加速运动，最终达到共同速度，开始匀速运动.若两导体棒在运动中始终不接触.从初始状态至两棒达到速度相同的过程中，由于两棒所受安培力等大反向，故总动量守恒，则mv0=2mv.根据能量守恒，整个过程中产生的总热量

Q=12mv20-12(2m)v2=14mv20.

如图6所示，在光滑绝缘的水平面上有两个相距无穷远的带电小球A、B，两球带同种电荷，A球质量为m，以速度2v0向右运动，B球质量为4m，以速度v0正对着A向左运动.设两球始终未相撞.A、B组成的系统动量守恒，当两球相距最近时具有共同速度.由4mv0-2mv0=(m+4m)v,可得v=25v0.两小球在此过程中机械能减小，减小的机械能转化系统的电势能，故当两球的动能最小时，系统的电势能最大，

Epmax=12mAv2A+12mBv2B-12(mA+mB)v2=185mv20.

2反冲类问题

反冲发生时，一个静止的物体在内力的作用下分裂成为两部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反方向运动.反冲运动最典型的是爆炸.反冲运动是系统内力作用的结果，虽然有时系统的合外力不为零，但由于系统内力远大于外力，故系统总动量守恒.但因为有内力作功，实现了其他形式的能向系统机械能(主要是动能)之间的相互转化.

如图7所示，炸弹在空中发生爆炸，一分为二，两物块的质量分别为m1和m2,速度分别为v1和v2,12m1v21+12m2v22则通过爆炸有12m1v21+12m2v22的化学能转化为系统的动能.

如图8所示，小车与木箱紧挨着，它们静放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，小车和木箱分别向两个相反的方向运动.小车(包括男孩)和木箱组成的系统动量守恒，通过男孩迅速推出木箱的过程，将男孩自身的化学能转化为男孩、小车和木箱的动能.

如图9所示，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止.若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，根据系统动量守恒，可得救生员跃出后小船的速率为v0+mM(v0+v)，此过程中小船和救生员的动能都增加，其能量是从人的内能转化过来的.

一静止的氡核(22286Rn)发生α衰变，放出一个速度为v0、质量为m的α粒子和一个质量为M的反冲核钋(Po)，其衰变方程为22286Rn→21884P0+42He.在衰变发生前后，系统动量守恒，根据系统总动量为零，可求得衰变后反冲核的速度为mv0M.氡核发生衰变前后有一定的质量亏损，释放的能量转化为α粒子和钋核的动能，有部分能量甚至通过钋核的跃迁，以γ光子的形式放出.在此过程中，放出能量的转化过程具有一定的复杂性.

3弹簧类问题

用轻质弹簧连着的物体间相互作用时，类似于碰撞，但从能量转化的角度而言，弹簧类问题系统没有机械能的损失，只是通过物体与弹簧的作用，实现系统内不同形式机械能的转化，总机械能保持不变.在此类问题在讨论过程中最常见的是相互作用的物体间出现“恰好”、“最近”、“最远”等临界条件，求解的关键点是速度相等.

如图10所示，物体B静止在光滑的水平面上，在B左边固定有轻质弹簧，与B质量相等的物体A以速度v向B运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动.与弹簧接触后，A作减速运动，B作加速运动，当A、B的速度相同时，两者之间的距离最近，弹簧的弹性势能最大，A物体的部分动能转化为弹簧的弹性势能.A和B的速度相等的时刻即为A、B组成的系统动能损失最大的时刻，但在此过程中，A、B和轻弹簧组成系统的机械能是守恒的.通过轻弹簧的做功，实现动能和弹簧弹性势能之间的转化.

如图11所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上，然后使A、B以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为零.已知A、B的质量分别为mA、mB，且mA

(mA+mB)v0=0+mBvB,

可得vB=(mA+mB)v0mB.

又由于系统的总机械能保持不变，

故12(mA+mB)v20+Ep=12mBv2B,

解得Ep=mB+mA)mA2mBv20.

如图12所示，质量为M的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切.一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设整个过程中小球未越过滑块.由于滑块光滑，故小球与滑块组成的系统在水平方向上系统动量守恒.小球到达滑块上的最高点时，小球在竖直方向上的速度为零，两物体的速度方向为水平向右，大小相等.设小球能够上升的最大高度为h,根据动量守恒可得mv0=(m+M)v.由于系统机械能守恒，可得

12mv20=mgh+12(m+M)v2.

此问题中，通过小球与滑块的支持力作功，小球的部分动能转化为滑块的动能和小球的重力势能，系统总机械能守恒.此类问题中，两个物体之间虽然没有轻质弹簧相连接，但从能的转化和守恒的角度，与两物体之间连一个轻弹簧的问题非常相似.可称为类弹簧问题.

碰撞、反冲和弹簧类问题若从牛顿力学的角度分析，具有一定的复杂性，若用动量和能量的观点处理，体现了其不注重中间过程，只注重初末状态的优势.在研究系统动量守恒的前提下，从能量转化的形式而言，碰撞、反冲和弹簧类问题代表了机械能与其他能量转化的不同类型.以不同的能力转化为主线，来探讨实际物理问题，值得我们借鉴和思考.

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