理论力学中的“教”与“学”
摘 要：理论力学是机械类本科专业必修的专业基础课，也是后期学习机械设计和机械原理必要的先期基础知识。本文主要从教与学两方面讲述如何结合实践和后期学习掌握理论力学的基础知识。
关键词：理论力学 ；牛顿定律
【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2017）06B-0035-03
《理论力学》是建立在牛顿三大定律之上的一门专业基础课，研究领域属经典力学范畴，也就是说固定坐标系是建立在地球上，以地球为参考。理论力学中的物体的运动线图：力、位移、速度、加速度等等恰恰是机械原理当中重要的、重复的组成部分，两者在分析处理问题方面完全一样。因此学好理论力学与更好地掌握后期理论课程学习以及解决工程实践问题息息相关。
一、《理论力学》的基本理论
《理论力学》的理论支柱是牛顿三大定律：①惯性定律；②力与加速度关系定律；③作用与反作用定律。其中最主要的是第二定律，建立了物体受力与运动之间的联系，确定了力与运动关系表达式，把静力学、运动学和动力学结合在一起，贯穿了理论力学的全部基础知识。其表达式为：
F=ma （1）
其中：F—刚体所受全部力；包括主动力、约束力、（以及后期学习的惯性力）。
m—刚体质量；工程实际中分析对象的质量往往是不变的。
a—刚体运动加速度；与运动状态实时紧密相关，工程实际中也是时变的参数。
注：以后的表达式中，除了质量m、时间t为标量外，其余均为矢量，后面不再特别注释。
（一）静力学
静力学只分析刚体静止（或惯性即加速度为零）状态下所受力，也就是仅仅考虑（1）式的左边部分，分析刚体所受的力包括：主动力、约束力、摩擦力以及后期要学习的惯性力。这是理论上的灌输，实践中或日常生活中的例子处处可见，如没有摩擦力人们不能走路等等提醒学生分析问题要考虑齐全，不遗漏。这里问题出现最多的地方是涉及物体重力的两物体相互作用，物体的重力是由于地球的引力作用所引起的，如图1所示，分析A、B间的力，虽然他们都有重力，却不是两者间的作用与反作用力，重力是第三者（地球）施加的，这个概念必须清楚。分析物体受力时，最好按某一类学生熟练的分析方法。将刚体的全部受力分析齐全，无一遗漏，然后列平衡方程：和。熟练掌握二力杆和三力汇交等定理可以有效地减少未知参数，极大地简化计算量。图2是一个比较经典的例题。题目是画出带符号构件及整体受力图。
对于初学者而言，分析受力最常见和最容易出现问题的地方就是少力、漏力（力分析不全面）。因此，就这个例子来说，给大家一个建议：不管是整体还是某个构件，先画已知力，然后在所有与其他构件接触的地方（约束）用正交分量来表示力（约束），包括与固定墙壁（地面等安装接触地方），作用与反作用力用带撇的符号分开（这个不清楚也没关系，先保证分析力齐全），如图3的（a）、（b）、（c）、（d）（需要强调的是在加约束力的时候，一定要先解除约束，以力代之，不要又有力又有约束同时出现在一处，因为后期还有只求某个方向的约束力的问题）。如图3的（d）中的o、b处是与地面机架接触的，画了正交分量后就不要再出现约束，因为正交分量就表示了此处的约束，如果既有约束又有正交分量，则表示两个力重复，其他地方也类似）。平衡方程列好后紧接着要求解方程，必须掌握静力学基本定理，不然，未知数太多，而平衡方程才三个（矢量方程两个），则难以求解。从图3的（d）来看，整体只受三个力，利用三力汇交，可以确定O处的力肯定过B点，无形中少个未知数，如图3中（h）（这里可以先不管物体受力具体方向，因为计算结果会得出力的方向，所求结果为正，表示力方向与假设一致，否则与假设方向相反）；再分析D点约束类型可以确定D点力垂直于AB（应牢记约束力指向为垂直于公切面或公切线的法线方向），在此基础上分析CDE构件又是三力汇交，确定C点力的方向，如图3中的（c）→（g）；确定C、O点后，回到ACO构件，再次利用三力汇交确定A点力，如图3中的（a）→（e）；确定A点后，回到构件ADB，同样确定B点受力，如图3中的（b）→（f）；确定方向后的力不再用正交分量来表示（正交分量是分析过程），去除多余的正交分量，包括图3中最后（h）图中B点处。从这个例子也可以看出，受力分析是一个反复的过程，因为事先并不知道哪些分量是否存在或为零，只有正确分析物体受力后，才可以利用题目所给几何条件或三角关系等来求解各处力。否则，未知数太多，没办法求解，或分析受力不正确，最后得到错误结论。
摩擦力总是阻礙物体的相对运动，分析与运动趋势相反，求解摩擦力的时候，平衡方程要补充摩擦定理，其他没什么不同了，摩擦力除了临界状态外，都是一个范围值。
（二）运动学
运动学首先要搞清楚坐标。
理论力学中坐标只有2个：一是定系，理论力学既然是经典力学范畴，那么工程中常用地球作为固定坐标系；二是与运动物体固接在一起的运动坐标系，称为动系，所谓固接就是坐标系与物体是浑然一体的，物体如何运动，动系就如何运动。
点的运动，只要写出直角坐标方程，然后就是高等数学的微积分了。熟练掌握点的运动很重要，很多物体的运动都可以简化为某些特殊点的运动，如质点运动，或在点的运动基础上合成分析。
清楚确定坐标后，三种运动关系就好描述了。图4是两个坐标及其相对关系描述。oxy和o"x"y"分别表示定系和动系，i、j和i"、j"分别是坐标轴上的单位矢量。理论力学中涉及刚体的运动只有三种，分别是平移、定轴转动和平面运动。
有两点必须明白：
A.对于平移运动，i"、j"大小和方向均不变，因此为常矢量。常矢量有个特点是其导数为零。
B.对于定轴转动，i"、j"大小不变，方向改变，不能作为常矢量处理，导数也就不为零。这一点在接下来数学推导物体运动速度、加速度关系式的时候显示无疑。
相对运动是动点对动系的运动，与绝对坐标无关，i"、j"为常矢量，变化的是相对坐标；在对矢径r = x"i"= y"j"求导时i"、j"的导数为零；牵连运动是动系对定系的运动，与动点无关，因此i"、j"方向变化，大小不变，不能作为常矢量处理，即其导数不为零，而x"、y"为不变量，导数为零。所以，在对矢径r = x"i"= y"j"求导数时，要利用复合函数求导来分别对待，不能笼统作为常量处理。绝对运动是动点对定系运动，因此相对坐标和方向矢量均变化。可以参看图4中的C。
运动学描述了刚体（或质点）的运动规律，即位移、速度、加速度三者之间的关系，从数学角度而言，三者为微积分关系，均为矢量。不同的参考系，刚体的运动规律有不同的描述，因此在分析求解问题的过程中，必须指明参考坐标系。但是，对于工程应用而言，地球为固定参考系，刚体的运动描述有且仅有一种。
运动学的分析就是分析（1）式右边，也同时为后期动力学知识做铺垫。
运动学的矢量方程即：
位移通式：
速度通式：（点的速度分析和刚体的速度分析有相似之处，因为刚体上有个重要的点——质点，而刚体的运动可以分解成随质点的平移和绕质点的旋转，因此速度表达式可以通用。）
加速度通式：
表达式中的脚标a、r、e分别表示绝对、相对和牵连（英文单词首写字母），ac表示科氏加速度。
把矢量图和矢量方程紧密联合起来有助于求解运动学问题。同时也可以用图像法检查自己的分析过程和结论。
（三）动力学
动力学揭示了力与运动的关系，即牛顿第二定律，综合考虑 ，在前面两节已经分析并求解了力、质心（刚体）加速度，因此，只要把二者结合起来，即可求解未知量。动力学有两类问题：一是已知运动求力，再一个就是已知力求运动，第一类问题是高等数学求导数问题的应用，第二类问题是高等数学积分求解，需要有比较扎实的数学知识。
这一部分涉及到一个重要知识就是质心的运动分析，也就是前面提到的点的运动分析的相关知识，当然比点的运动分析复杂一点，需要自己熟练掌握相关知识并不断练习。
二、总结
理论力学既然是建立在牛顿三大定律之上，因此理论力学中的全部定理均可由牛顿三大定律导出。不管物体是运动还是静止状态。
由（1）式F=ma
左边：上述静力学分析部分指明，刚体的全部受力分析；
右边：上述运动学分析部分指明，刚体的运动分析，特别是质心的加速度分析。静止或惯性状态是特例，加速度为零，变成静力学知识。
理论力学三大定理：
动能定理：F=ma=m，两边点积：
F·dr=m·dr=mdv·=mdv·v=d（mv2）/2
反映了外力所做功与物体动能增量间关系
动量定理：F=ma=m， Fdt=d（mv）
反映了力（冲量）与动量增量间关系
动量矩定理：F=ma，
两边叉积：F×R=m×R=（mv×R）
反映了力矩与动量矩能间关系
达朗贝尔原理：F=ma，即F-ma=0，其中-ma即为惯性力。
这里有个误区就是惯性力究竟是不是力的问题，这里说明一下惯性力是不存在的，按照前期知识，这个力没有施力体，也没有受力体，只具有力的量纲，是假想的、虚加的，目的是用静力学方法分析运动學问题。
掌握了牛顿三大定律是构造理论力学的理论基础，在教学过程中应始终贯彻这一基本理论，第一步：先分析力（静力学、动力学），力要分析齐全；第二步：分析运动，分析清楚点、刚体（质心）的运动规律，如轨迹、相对运动、牵连运动是何种形式，在此基础上写出运动矢量方程，绘制矢量图，然后两者结合求解；第三步：动力学结合了前两步：较静力学而言，多了惯性力和惯性矩，较运动学而言，多了受力分析。
理论力学综合知识的应用特别考查大家对理论力学知识点的掌握程度。随着知识的不断深入，解决问题的方法有很多，也涉及到多方面，特别是三大定理的综合应用。大家普遍感到困难的就是不知道怎么入手解决。理论力学道理很简单，说起来容易，题目做起来很困难，需要大家不断练习，前后知识融会贯通才能得心应手。
参考文献：
[1]王铎.理论力学[M].北京 ：高等教育出版社，2009.