理论力学教学中斜坡滑动摩擦偏向力偶探讨
摘 要：对于斜面支承的物体，其底面支承约束反力并不是呈现均匀分布状态，其等效集中荷载存在一定的偏心距。对其进行较为详细的受力分析有宜于学生对平衡状态条件的理解，并且利用这种斜面对物体支承约束反力分布的不均匀特性，研究斜面物体滑动过程中所产生的偏转力偶，较好地诠释了斜坡运动物体的曲线轨迹产生的原因。
关键词：理论力学 受力分析 斜坡支承反力 偏向力偶 运动轨迹
中图分类号：O3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）03（c）-0-02
在理论力学教学中，关于斜坡物体支承约束反力的分布情况，一部分教材和参辅资料存在这样一个值得商榷的观点：认为斜面对物体的支承约束反力分布是呈均匀分布的，故可用一个作用点位于接触面中心的集中荷载来进行等效。事实上，斜面上物体底面支承约束反力并不是均匀分布的，其分布状况是由斜坡坡度所确定的，其等效集中反力作用点位置将随坡度的改变而变化，使得相关的等效摩擦阻力作用位置的改变，从而导致斜坡物体运动过程中偏向力偶的产生。该文首先从静力平衡条件出发，论证了斜坡物体支承约束反力分布的不均匀性，并分析了支承约束反力分布情况与坡度之间的关系。然后利用这种斜面对物体支承约束反力分布的不均匀特性，研究斜面物体滑动过程中所产生的偏向力偶，解释了斜坡运动物体的曲线运动轨迹产生的原因。
1 斜坡物体的静力平衡条件
放置在斜坡上静止的物体，除重力荷载作用外，还承受斜面对物体的支承约束反力和接触面上的静摩擦阻力作用，若认为斜面对物体的支承约束反力是呈均匀分布的，则可用一个作用点位于接触面中心的等效集中荷载N来替代，如图1所示。
根据平面任意力系的静力平衡条件[1-3]：
可见，若认为斜面对物体的支承约束反力是呈均匀分布的，则，不满足静力平衡条件，物体将发生转动，这与已知物体的静止状态矛盾。因此，由静力平衡条件可以得出这样结论：斜坡上物体底面支承约束反力的等效集中荷载作用点并不位于物体底面中心，故其底面支承约束反力是呈不均匀分布状态。
2 不同坡度条件下其支承约束反力分布情况分析
事实上，不同坡度条件下，放置在斜坡上静止的物体，其底面支承约束反力分布情况较为复杂，如图二所示，但可以仍可以近似地用三角形、梯形等分布荷载予以简化，并进一步可用一集中荷载进行等效替换。
令物体底面所受支承约束反力的等效集中荷载N作用点位置沿坡斜面距物体B中心距离为d（等效集中支承约束反力N的偏心距），如图二所示。当斜面上物体B静止时，即（fmax为接触面最大静摩擦系数），根据静力平衡条件，可知：
可见：支承约束反力的等效集中荷载偏心距d仅与物体高度h以及坡度θ有关。下面分析不同坡度条件下斜面上物体B底面的支承约束反力分布情况：
①当θ=00（物体水平放置）时，偏心距，表明支承约束反力的等效集中荷载作用于底面中心处。此时，可以认为其底面支承约束反力是呈均匀分布的，其中，如图2（a）所示。
②当）时，偏心距。表明物体底面的支承约束反力是呈梯形分布的，其中：q1、q2是由物体几何参数a和h以及坡度角θ所决定的，如图2（b）
所示。
③当时，偏心距。此时，斜坡对物体支承约束反力是沿整个底面呈三角形分布状态，其中：q是由a以及坡度角θ所决定的，，，如图2（c）所示。
④当时，偏心距。可以认为斜坡对物体的支承约束反力仅作用于物体底面的部分区域，并呈三角形分布状态，其中：q决定于物体几何参数a以及坡度角θ的大小，，如图2（d）所示。
3 斜坡物体滑动过程中的偏向力偶及其轨迹分析
放置在水平地面上静止的物体，若在水平方向施加一恒定荷载使其发生滑动，物体将沿一直线轨迹运动。但当存在一定角度的斜坡条件下，即使这个坡度θ角很小（静摩擦阻力远小于最大静摩擦阻力），在水平恒定荷载作用下，将观察到斜面上物体的运动轨迹并不是一条水平直线，而是如图四所示一段沿支承斜面向下发展的曲线轨迹EF。显然，斜坡上的物体在运动初始即发生了偏转。
现在分析坡度为θ角斜坡上物体在运动初始时刻的受力情况：作用在物体上的主动力有两个，一是作用在物体重心处的自重，二是沿水平方向（y轴向）的荷载T；而物体上的约束反力为呈不均匀分布的斜面支承约束反力，其等效集中荷载Neq在x方向上存在偏心距d；另外，物体在x轴向存在滑动趋势，故在物体接触面上存在沿x负向的静摩擦阻力Ff1，而在y轴负向存在一滑动摩擦阻力Ff2。无论等效摩擦力Ff1或Ff2，其作用点位置均由支承约束反力分布情况和运动方向（或趋势）所决定，在其等效集中力Neq的作用点H附近。物体的受力分析如图五所示。
假设物体初始滑动时其水平主动力T与水平方向的滑动摩擦阻力Ff2在数值上相等，根据空间任意力系向一点简化原则[4]，将作用在物体上的所有荷载向重心O简化，得到一主矢和主矩，再将其分别向x轴、y轴、z轴投影，可得：
可见，作用于物体上的力系向重心O点简化后的主矢为0，主矩，为斜面上绕z轴负向转动的力偶矩，即为斜面支承物体的运动偏向力偶。在运动初始时刻，根据动力学理论，斜面支承的物体由于存在偏向力偶Mz=-Td的作用，将发生偏转运动，其运动轨迹会产生偏转。
在随后的t=0+Δt时刻，由于物体开始偏转，其接触底面支承约束反力分布将随之变化，相应的等效集中反力作用位置也发生改变，使得等效摩擦阻力的大小和位置发生变化；同时，随着运动轨迹的改变，物体运动方向变发生变化，导致摩擦阻力方向的改变，从而加速了偏转过程。随着时间的推移，可以观察到，斜面上物体的运动轨迹将呈现一条曲率逐渐增大的曲线状态。
4 结语
（1）具有一定坡度角θ的斜坡上物体底面支承约束反力的分布是不均匀的，故其等效集中荷载作用点并不位于物体底面的中心处。
（2）尽管放置在斜坡上静止的物体其底面支承约束反力分布情况较为复杂，但仍可以近似地用三角形、梯形等分布荷载予以简化，并可以用物体的几何参数和坡度角的大小进行量化；其等效集中荷载存在一定的偏心距，并且偏心距d仅与物体高度h以及坡度θ有关。
（3）斜面支承物体底面支承约束反力的不均匀分布特性，导致其等效摩擦阻力并不通过底面形心，存在一定的偏心距，从而在物体滑动初始阶段即在斜面上产生绕Z轴负向旋转的力偶矩（偏向力偶）。这种偏向力偶是使斜面上滑动物体产生一条曲率逐渐增大并向下发展的曲线轨迹的主要原因。
参考文献
[1]范钦珊.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2000（6）.
[2]西南交通大学应用力学与工程系编.工程力学教程[M].北京：高等教育出版，2004（7）.
[3]北京科技大学、东北大学编.工程力学[M].北京：高等教育出版，2002（8）.
[4]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2003（7）.