任意幂有心力作用下质点的轨道方程和曲线
摘 要： 有心运动是一类常见的运动形式，研究在有心力作用下的质点的轨道方程和轨道曲线有重要的实际意义.本文通过对质点运动轨道是否闭合的条件进行了分析，得到了质点运动的轨道方程，然后编程解决了质点轨道曲线图像的问题，大大减轻了师生教学的工作量.
关键词： 有心力 轨道方程 轨道曲线
一、引言
作用于一运动质点的力的作用线总是通过空间某一固定点，这样的力叫做有心力，这个固定点叫做力心.指向力心的有心力叫做引力，背向力心的叫做斥力.有心力的量值，一般只是力心与质点间的距离r的函数，因此有心力只具有矢径方向的分量.而在有心力作用下质点的运动叫做有心运动.有心运动是一类常见的运动，如天体的运动、原子核外电子的运动都属于有心运动.对有心运动的研究，在理论力学教材[1]中，大多采用平面极坐标系，利用比耐公式[2]建立质点的轨道微分方程，由初始条件求解该方程得到质点的轨道方程，并由此绘制出轨道曲线.然而这种方法，对于在与距离平方成反比（n=-2）的有心力作用下运动的质点，求解其轨道微分方程（ +u=- ）是可以直接得到它的轨道方程和轨道曲线[3]的.但当有心力为r的任意幂时，其轨道微分方程为（-mh u （ +u）=Au ），要想从该方程求出质点的轨道方程并绘制出轨道曲线就非常困难了.在这种情况下，如果采用数值计算方法[4]，则可以使问题大为简化.在要求不是很严格的情况下，采用数值计算方法可以得到比较满意的近似解.在已有的文献中，采用C语言编程计算，其计算程序相当复杂和烦琐，一个较小的程序都需要长篇的语句，使用起来很不方便.如果采用Matlab数学计算软件处理有心运动问题，则不仅可以方便快捷地由轨道微分方程求出质点的轨道方程，还可以很简便地绘制出相应的轨道曲线，且只需短短的几句程序语言，方法非常简便，从而简化任意幂有心力轨道方程和曲线的计算.
二、质点做圆形轨道运动及轨道闭合的条件
在任意幂有心力作用下，质点的轨道会表现出不同形式，有闭合的，也有不闭合的，那么轨道闭合的条件是什么呢？由于有心力是保守力，有
F（r）=
F（r）=-？蘩 F（r）dr+c
结合有心力作用下质点的运动微分方程[5]，进行能量积分后可得m =F（r）+ .然后令 =0，则相对平衡位置r=r 时，可得到质点作圆形轨道的条件：V（r ）+ =E .但当质点受到微扰后，其轨道是否会闭合还需用伯特兰定理[6]β =3+ | 来判断.不妨设有心力的形式为 =Ar ，取|A|=1，并代入伯特兰定理可得β =3+n.显然，当n>-3时，受任意幂有心力作用的质点的运动轨迹是闭合的；当n≤-3时，则其运动轨道是不闭合的.这就是有心运动轨道闭合的条件.
三、任意幂有心力作用下质点的轨道曲线
从以上分析可知，当n=-2、n=-3时，求出其解析解还是容易的，但是当n<-3及其他值时，则只能用质点做圆形轨道运动和轨道闭合的条件来求其近似解.根据有心力作用下质点的机械能守恒方程[7] m（ +r ）+V（r）=E =常量，当取无穷远点为势能零点时，则可得到：
r=
这就是n<-3时的质点轨道方程，显然它是一类指数曲线的一般方程.
为了方便使用程序和顺利得出图像，可设n=0.5，A=1，h= 则按以下步骤即可得：
1.打开matlab程序.
2.新建一个命令窗口（M-file），再分别新建两个文本窗口（Figure）.
3.然后将主程序分别复制到两个文本窗口（Figure）中.
4.完成以后就对其进行保存，然后点击工具栏中的Run按钮，根据对话窗口中的提示，在对话窗口中输入n=0.5，A=1，H= ，回车后就可得到所要求的质点的轨道曲线.
参考文献：
[1]陈世民.理论力学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2001：49-56.
[2]程靳.理论力学学习与考研指导[M].北京：科学出版社，2004，4：35.
[3]胡乾善.理论力学[M].北京：高等教育出版社，1985，4：185.
[4]刘则毅.科学计算技术与Matlab[M].北京：科学出版社，2001：38-42.
[5]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，1976，1：249.
[6]强元棨.经典力学[M].北京：科学出版社，2003：379-382.
[7]朱照宣，周起钊，殷金生.理论力学[M].北京：北京大学出版社，1982：181-182.