数学审美教学策略
摘 要：新的数学教育观的要求之一是数学教学要和数学的审美结合起来，使数学教学过程既是学生数学知识的学习过程，又是对数学美的鉴赏过程。本文旨在借鉴前人的研究成果的基础上，提出数学审美教学的策略，以激发学生学习数学的兴趣，启迪学生的思维活动，并帮助学生深化理解数学知识，陶冶思想情操。
关键词：数学美 策略 数学审美 数学审美教学
1.问题的提出
1.1研究的背景与意义
新的数学观的一个重要方面就是数学是一种文化，它有丰富的人文价值和美学价值；新的数学教育观的要求之一是数学教学要和数学的审美结合起来，使数学教学过程既是学生数学知识的学习过程，又是对数学美的鉴赏过程。
数学美的研究是一个时时探索又时有新意的课题，对数学美的深入和全面的认识，无论是改善数学教学，还是促进数学的创造、发明都有重要意义。本文旨在比较、借鉴前人的研究成果的基础上，提出数学审美教学的策略，以激发学生学习数学的兴趣，启迪学生的思维活动，并帮助学生深化理解数学知识，陶冶思想情操。
1.2数学审美教学策略的涵义
赵伶俐在《审美化教学的原理与实践》一书中指出审美化教学就是指将所有的教学因素(诸如教学目标、内容、方法、手段、评价、环境等)转化为审美对象，使整个教学过程转化成为美的欣赏、美的表现和美的创造活动，使整个教学成为静态和动态和谐统一，内在逻辑美和外在形式美高度和谐统一的整体，使师生都获得充分身心愉悦的一种教学思想理论、操作模式和方法。
教学策略通俗地讲就是指要解决“如何教”的问题，它是教学内容、教学设计、教学组织、教学方法等一系列有利于最优实现教学目标的工作方式的总和。
因此，数学审美教学策略的基本含义是在按美的规律创设的数学教学情境中，通过特定的数学活动过程来展示数学美和体验数学美，为完成数学审美教学目标而制定的数学教学计划和采取的数学教学措施的总称。
2.数学审美教学策略
2.1挖掘“数学美因”，向学生渗透数学美
徐利治教授曾研究过数学美的具体含义，他提出：“作为科学语言的数学：具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在内容结构和方法上也都具有其自身的某种美，即所谓数学美。数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性、结构系统的协调性、对称性；数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性；还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。”概括地说，数学美的主要标志与形式有简介性、和谐性与奇异性。
数学蕴含这丰富的美：有符号、公式和理论概括的简洁美与统一美，图形的对称美，解决问题的奇异美，以及整个数学体系的严谨和谐美与统一美等等，但是学生未必能感受到这些美，这就要求教师在教学中能够把这些美育因素充分挖掘出来，展示在学生面前，让学生真正体验到数学之美。
2.1.1展示数学内容结构的美
在教学中向学生展示数学在其内容结构上的美，通过数学中精美的图形、奇妙的或统一的式子、有趣的数学关系比例、结构的匀称和协调、命题或定理的关联统一与对偶、奇异等形成美学思想，引起学生的最佳学习动机，激发他们的学习兴趣。
在教材中随处可见的一对对的对立统一体，正数与负数、常量与变量、实数与虚数、有限与无限、近似与精确、偶然与必然，这正是自然界事物变化发展规律的反映。这些对立统一的矛盾，在数学上构成不同层次、不同旋律的乐章。例如，在解析几何中椭圆柔润自然，是天体运行的轨迹，也是生命的摇篮形式，动静结合的最美的图形；抛物线流畅光洁，毫无矜持失态；双曲线规整对称，象一对比翼齐飞的天使的翅膀；奇妙的是，三种圆锥曲线从某些侧面揭示了客观世界的和谐统一，它们都是平面与圆锥曲线的截线，都具有的=e的几何共性，都具有相似的光学性质（见教材阅读材料），它们都具有统一的方程：=，其内部结构整齐一体，秩序匀称，内容相似，显示统一美和相似美。又如著名的欧拉公式ei+1=0，把e ,i,,1,0这些最简单而又最主要的数联结在一个清晰统一的式子之中，体现了数学的简约美。
学生对代数中的二次函数公式y=x2+bx+c(≠0)刚开始并不觉得有什么美，可是稍加提炼就会发现奇妙无比。单就公式而言，它可以用来描述自由落体运动的规律S=gt2，又可以计算圆的面积S=r2，还可以表达爱因斯坦的质能公式E=mc2；它的图像抛物线可以描述喷水池的水珠外溅的路线、描绘小小的乒乓球运动途径又可以刻划好汉宇宙中天体的运动轨迹。这万千事物中的数形变化竟统一于如此简单的一个数学公式，真是奇妙无比，美不胜收。
再如球形、正多边形、正多面体、旋转体、圆锥曲线体现了完善、对称的美感。数学命题关系中的对偶性又是对称美的自然表现。如在平面几何中，点和直线具有对偶性，在立体几何中，点和平面也具有对偶性。
例:两点定一直线。两直线定一点（即两直线相交有一个交点）。
不在一直线上的三个点确定一个平面。 三个平面不同过一条直线，也可以确定一个点。而且在对偶的两个命题中，有一个结论成立，另一个对偶命题的结论也成立。
2.1.2领悟数学解题方法的美
数学问题，浩如烟海，求解时很难找到一定的程式。有时，在“美的号召”下，凭借美的感受，领悟问题显露的美，并以此为思维向导，另辟蹊径，常可获得别开生面的妙解。
◆运用简单性思想，探索解题捷径
许多数学题目，虽然其表面形式很复杂，但本质上总存在简单的一面。解题时，我们应自觉寻找简捷明快的思路和方法，摒弃凭直觉判断既难又繁的方法，在感受数学简洁美的同时，找到解题捷径。
例1、设向量＝（cos23°,cos67°），=（cos68°,cos22°），=+t•（tＲ）求的模的最小值。
分析：按常规思路用代数方法进行向量的坐标运算。的几何意义中一条直线。记点（cos23°,cos67°）为A，点（cos68°,cos22°）为B，则的几何意义是一条过点A平行于直线OB的直线，的模的最小值为点到直线的距离。正如数学家庞加莱所说的数学的美感、数和形的和谐感、几何学的雅致感，起着微妙的筛选作用。
注：题目不在深浅，解法简单就行，思考越深刻，方法越简单.简单美是数学美的最基本的特征,数学的魅力在于追求简单,那种“水中月,镜中花”的高难技巧,是可欲而不可求的.
◆利用和谐美，启迪解题思路
解数学题的天键在于问题形式的变换与化归，而变换化归的依据在于各种形式间本质上的和谐与统一。数学的和谐美能透露这方面的信息，为实现这种统一指引方向，为打通解题途径奠定基础。一个和谐的命题往往可以启迪我们的解题思路。
例2、设x+y+z=0，xyz≠0,求x(+)+y(+)+z(+)。
分析：由已知可看出，条件具有对称性，字母x，y，z分别作轮换x→y→z→x，作为整体在轮换下保持不变，为追求欲求式中三项的和谐统一，审美直觉心理倾向于每个括号里各添一项，美化成关于++的统一式
解：原式=x(++)+y(++)+z(++)-x-y-=(x+y+z)(++) -3=-3
◆ 构造对称美，简化解题过程
许多数学题目显露着对称美。解题时，若用对称的眼光去观察，通过形象的补形造成对称，或采用对称变换调整元素关系，则往往可起到优化解题思路，简化解题过程的功效。
例3 如图所示A"，∠MON=200,A为OM上一点，OA=4,D为ON一点，OD=8,C为AM任一点，B为OD任一点，求折线AB+BC+CD的最小值。
简析略解: 通过对称变换，化折线段为直线过程，可以简化解题。如图，点A"是关于ON的对称点，点D"是关于OM的对称点。连结A"D",则OA"=OA,OD"=OD,A"B=AB,CD"=CD,显然A"D"≤A"B+CD"+BC=AB+CD+BC。
当B，C分别位于A"D"于ON，OM的交点处时，折线段有最小值A"D"。易见此时∠D"OA"=60°,再在△OA"D"中，根据余弦定理求出A"D"=12。
◆ 构思奇异美，突破解题常规
每个数学向题都有自己的特性，有些可以构成数学奇异美。具有“多样统一美”的一般方法、原理，对此未必奏效。此时，应着眼于问题本身的奇异性，要不拘泥于成法，大胆创新，标新立异，从而找到别开生面、出奇制胜的解法。
注:从这两题反映出看似无关的量，从奇异性角度考虑可以挖掘出解题信息，出奇制胜，揭示了数学世界内在的奇异美，也反映了事物内在的统一性。
例4：已知关于x的方程x2-2(-3)x+(-2)=0中的为负整数，试求出那些能使此方程至少有一个为整数解时的值。
分析：所给方程式一个含参数的二次方程。如果用求根公式解除x，再由的值来讨论根的情况，运算就冗繁不堪。但若注意到的最高次数仅为一次，利用奇异性考虑，突破常规，考虑=(x≠1)（*）及-6x+2≤-(x-1)2(xZ)及可求出x的值是2或3，分别代入（*）式便得对应的值-10或-4即为所求。
注：此题反映出看似无关的量，从奇异性角度考虑可以挖掘出解题信息，出奇制胜，揭示了数学世界内在的奇异美，也反映了事物内在的统一性。
2.1.3引领学生鉴赏数学史的美
数学史中蕴含丰富的美学内容，在教学中引导学生鉴赏数学美，适时地利用数学家追求数学真善美的故事和数学历史长河中“美丽的数学事件”来感染、激励学生，使学生了解到人们对数学美的追求促进了数学的发现。例如，著名数学家陈景润在上中学时听到他的老师讲到“哥德巴赫猜想”问题之后，就下定决心要摘取这颗数学皇冠上的耀眼明珠，他历尽了千辛万苦，于1966年5月证明了“1＋2”，居世界领先的位置。是什么力量使他战胜困难取得成功呢?首先是他的老师用数学的奇异美刺激了他，使他产生了兴趣。正如陈景润所说，数学是一门“极其生动有趣的科学，……揭开它的严密逻辑性及高度抽象性这层面纱，我们会看到表面上枯操无味的数学有着一张趣味无穷的面孔。”他的“1＋2"论文，当时有200多页稿纸，为了追求数学的简洁美，陈景润不满足他的现有成果，又用了7年的时间简化他的证明过程，直到1973年才全文发表了“1＋2"的论文，即《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》。又如，讲述古希腊著名数学家阿基米德对数学的执着追求，当罗马士兵闯进他的房间，要用剑杀死他时，他若无其事地蹲在地上画几何图形，竭力要从那图形中寻求美好和宁静，并坦然地对士兵说:“请等一下杀我的头，让我把这道几何题证完。”
在教学中还可以展示所教内容的历史背景，恰当地穿插一些数学史料，从再现型的数学发现、生成过程来激发学生的学习兴趣，使学生学会用审美的眼光去鉴赏丰富多彩的数学文化。
2.2创设优美审美情境，进行数学审美教学设计
要实现数学教学审美化，首先应该营造一个数学审美情境，当学生在处于数学审美情境之中时，就容易建构起良好的数学审美心理结构，并使数学美的直觉受到启迪，从而进行数学的再发现或再创造。
一般而言，数学教学中创设审美情境主要可从以下两个方面入手：营造美的课堂环境；构建启发学生进入数学过程的情境。美的课堂环境包括物质环境和心理环境。物质环境如教室环境的整洁，多媒体教学设施的使用等，它们有利于学生以良好的心境进入数学学习状态和美化他们的心灵；心理环境如师生之间、同学之间的和谐民主关系。
人的审美心理结构中，具体性、形象性和抽象性是统一的，对那些直观、具体、形象、活动、新奇的对象更能使人产生美感。对数学中抽象对象的审美要求在教学上尽量把它设计成活动、新奇的表征方式。因此一般地说，学生在生动具体的日常生活和数学知识背景相关的情境中，更易于进入数学审美活动。这样，数学教学要重视利用实物、模型、图形、多媒体等来组织直观性的数学活动，以吸引学生投入到数学学习过程中去。只有学生自己动手、主动探究、感知数学知识产生、发展和应用的过程，才能感受到数学中内在的美的规律。
2.3利用现代信息技术，优化数学审美过程
在教学上，现代信息技术的应用改变了传统的数学教学方法。而数学审美教学与现代信息技术的结合更是体现了巨大的生命力，优化了数学审美过程。
利用现代的教育技术手段使得从前的数学美方面只能展示静态的美（抽象美、简洁美），变换成为动、静结合的美：由简导致奇，由奇产生美（美感），由美通向真，而简、美、真的变化过程，反映了数学动态的美，揭示了美的规律。数学教学中的美育，在数学教材中好多内容都反映了数学美的特性，这就需要我们去进行选取，加以适当处理。在举例时也应有意识地选取能反映数学美的实例，下图中的雪花曲线是最简单的分形图形，它是通过使用几何画板来展现的数学的美的例子，反映了整体与局部的数学思想，最特别的是分形的对称，它既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部与更大范围的局部的对称，显示了数学的对称美。
利用现代信息技术使教学过程更加直观形象，可以实现动与静的相互转化；可以运用网络和学生一起寻找数学美的例子；可以利用计算机平台进行师生间双向交流，使学生的思维更加活跃，有利于培养学生的创新意识，有利于学生创造数学美。
2.4开展丰富的数学活动，让学生在“做数学”的过程中体验数学美
新的数学课程标准中特别重视在数学教学中开展数学活动、数学探究、数学实验、数学建模等开放性和实践性的学习方式，从数学审美的角度来看，这些方式有利于学生在“做数学”的过程中获得数学美感。
例如数学游戏就是一种广受欢迎的数学活动，国内和国外的数学教育界都一直注重对数学游戏及教学进行研究，其中一个重要的原因就是数学游戏能把数学对象中隐含的静态的美学属性，通过在某种特定的数学活动过程中表现成直观的、具体的、形象化的、活生生的动态的美学形象，使学生在感知数学美的同时，还能体验数学美，产生数学美感。从美国的“Mathematics Teacher”和伦敦的“Mathematics in School”两本数学教育类杂志上最近几年的文章来看，有很多是介绍把数学教学内容设计为数学游戏教学的，其中有关于数论的游戏、几何图形组合的游戏、用数学方法解实际问题的游戏等等，丰富多彩，充满了趣味和美的享受。比如有一个这样的填数字游戏“Fun with Numbers”：N×7×16-N=NNN，它把数论的美渗透到具体的数学游戏里面，使学生在趣味和美习数和运算的知识。因此Oldfield 认为，在数学教学中利用数学游戏来帮助学习还是不够的，应该把数学游戏纳入到数学课程之中，这样可以激发学生的数学学习动机、发展学生的数学美感和提高学生的数学技能等。 “七巧板”是我国一种传统的智力拼图游戏，现在在西方也引起了广泛的关注，被称为“东方魔板”。它是用七块可以拼成一个正方形的几何图形板以各种不同的巧妙方法拼成千变万化的形象图案，如较复杂的几何图形、建筑物、风景、人物、汉字等。儿童玩七巧板的过程，既是益智活动过程，又是数学对象的审美活动过程，很容易在此游戏过程中获得数学美感。◆
参考文献：
[1]徐本顺,殷启正.数学中的美学方法.南京:江苏教育出版社,1992.
[2]李铁木.数学与美学.北京:地震出版社,1999.
[3]王勇.浅谈数学美在解题中的应用.高等函数学报（自然科学版），1996年第一期
[4]叶昌奎,麦志强.审美教育模式论.广州:广东教育出版社,1997.
[5]苏邹.数学之美—中国科学院院士张恭庆访谈.今日科苑.2005.2
[6]徐利治.科学文化和审美意识.数学教育学报，1997（1）
[7]王奎实. 数学美学的研究对象及发展方向. 吉林师范学院学报第16卷第11期
[8]徐本顺，殷启正:《数学中的美学方法》，1990年版，第19页.
[9]张雄:“数学美的根源、本质和特征”，《陕西师范大学学报(哲学社会科学版)》，1991年，第1期.
[10]张奠宙. 数学美与课堂教学. 数学教育学报. 2001、(4).
[1]张大均、余林. 试论教学策略的基本涵义及其制定的依据. 课程.教材.教法. 1996、(9)
[12]陈景润.数学趣谈.黑龙江教育出版社，1986
[3]付柳林.数学美的再认识及其审美教学策略.广西师范大学博硕论文,2004.
[14]徐利治.漫谈数学的学习和研究方法.大连理工大学出版社，1989
[15]吴福能.数学发现的奥秘.数学通报，1987 [16]钱学森.关于思维科学.上海人民出版社，1986 3.1