挖掘思辨价值,让数学更具魅力

在科技理性的深刻影响与控制下,数学教学中的数据解读往往只重视其事实性层面:各种对象的具体数量以及数量之间的和、差、比率关系等。而对内隐于数据背后的社会价值缺少足够关注,从而使数学教育流失了其丰富的人文意蕴,也延缓了学生社会化发展的进程。如何解决这一缺失呢?

1.数据解读从事实性向价值性转变,彰显丰富的人文性

在现实生活中,数据常常并非是一个纯粹的“数字”,而是内在地承载着主体的价值观念,无论是菜价的升降、股票的涨跌,还是个人所得税率的确定与调整,无不反映着主体的某种价值诉求。这种内隐于数据之中的价值观念,通过思辨才能得以显现。

以“百分数的应用”教学为例,在学生理解利息税率和个人所得税征收标准的基础上,不仅可以对数据的动态变化(事实上,教材信息发布的滞后性常常引发学生的普遍质疑)展开追问:储蓄存款从征收5%的利息税到目前免征利息税;个人所得税起征标准从1600元上调至2000元,为什么这样调整?从中你能发现和感受到什么?还可以对数据的具体确定深入追问:为什么个人所得税不是对所有公民的收入所得都按相同的税率征收,而是根据个体的不同收入状况确定不同的税率?为什么月收入2000元以下不征税,收入所得越高其相应的税率也越高?学生通过对这些问题的深入思考,不仅能真切感受到社会对弱势群体的深切关怀,体察到社会公众对社会公平性的诉求,初步理清个人利益与社会利益之间的关系,认识到“社会是个人财富之源”,进而提高对建设和谐社会的积极性,促进了其社会化的发展进程。

2.结果拓展从特殊性向一般性转换,实现更大的普遍性

数学是关于模式的科学,它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征,而是一类事物或现象在量方面的共同特征,因此数学模式相对于现实原型而言具有更为普遍的意义。因而,在解决实际问题的教学活动中,我们不能满足和停留于问题的具体结果或结论的获得,而应充分利用所得出的结果,努力去引出一般的结论,揭示其内在的依据,并作出可能的推广,实现充分的“结果中转”,体现数学的“一般化精神”。

下面是“圆的周长”教学中经常采用的一道应用性问题:人民公园景点A与景点B之间有两条路线(如图1),小明想从景点A到景点B去,他选择哪条路线比较近?在实际教学中,学生大多能主动运用所学知识,分别计算两人从A点到B点的具体路程:S甲=3.14×(40+60)÷2=157(米),S乙=3.14×40÷2+3.14×60÷2=157(米)。进而比较得出结论:两条路径长度相等。显然,其结果的获得具有很强的条件(具体数值)依赖性,而且所得结论也从属于特定的具体情境。因此,教师应引导学生从所得的具体结果或结论出发,展开类比、猜想、验证、归纳等思维活动,建构出具有相对独立性和普遍意义的数学模式,实现数学结论从特殊向一般的自然过渡与提升。上述问题结果或结论可以这样拓展:(1)类比猜测:如图2,人民公园景点A与景点B之间有两条路线,小明想从景点A到景点B去,他选择哪条路线比较近?与原题相比,乙路线构成由两个半圆周长向三个半圆周长拓展,这种数量上的增加使问题具有一定程度的拓展性(在汉语语境中,“三”具有“多”的意涵)。而且,题中未给出直径的具体数值,迫使学生以一般化方式思考与处理问题,实现思维方式的转换。(2)检验论证:在学生根据前问题解决作出类比猜测“两条路径长度相等”后,教师引导学生寻求数学依据,验证猜测的可靠性:L甲=πd=π(d1+d2+d3),L乙=πd1+πd2+πd3,根据乘法分配率,π(d1+d2+d3)=πd1+πd2+πd3,即L甲=L乙。(3)拓展推广:①同向推广:A.运用一般化方法对原问题进行再解决,建构并推广出一般化的数学模式:若d1+d2=d,则c1+c2=c,c1+c2=c;B.从问题2结果出发进行增加性推广:若d1+d2+d3+…+dn-1+dn=d,则c1+c2+c3+…+cn-1+cn=c,c1+c2+c3+…+cn-1+cn=c。②逆向推广:以模式A为基础逆向推广:若d1-d2=d,则c1-c2=c。其普遍意义在于:它不仅适用于两个不同直径的圆周长的比较,也适用于同一圆直径减少所引起的周长变化。

3.操作说理从经验性向论证性转变,追求更大的严格性

在小学“图形与几何”的教学中,对于操作结果的判断大多采取一种经验主义立场,按照经验直观的标准对操作结果作出判断,很少从数学的角度对操作结果进行分析和论证。也正因为如此,小学几何被称为“经验几何”。显然,这种“经验几何”有悖于数学对“更大的严格性”的精神诉求,“任何命题在经由逻辑论证得到严格证明以前都不能被看成在数学中已经得到了建立。我们可以十分精确地去测量成千上万个等腰三角形的底角,但这种工作永远不能为关于等腰三角形底角相等的定理提供数学证明”。

就本文论题而言,即便是最为简单的实践性操作,也不应完全停留于直观经验,而要引导学生从数学的角度进行分析与说理,促进学生从“确信”向“证明”有效过渡。一个基本的教学事实是:第二学段学生大多能熟练地“用一张长方形纸片折出最大的正方形”(这种操作方法在生活中也普遍运用)。然而,如果教师对学生的操作结果不是经验性直接肯定,而是投之以怀疑的眼光——“我看它怎么不太像正方形?”则完全打开了教学的另一方洞天。教师的怀疑引发学生强烈的自我辩护:“可以用量角器量出四个角都是90度”,“可以用直尺量出四条边都相等”。然而,学生看似充分的经验性辩护却遭遇老师同样经验性的有力反驳:“实际测量的结果一定如你所愿,难道不会有误差吗?”也正是教师的反驳迫使学生逐渐转向数学的思考,经过反复实践、仔细观察和深入思考,学生最终实现了对经验事实的“数学地辩护”:由原来纸片是长方形可知∠A和∠B都是直角,沿AC边对折后,∠B与∠ADC完全重合,说明∠ADC也是直角,同样可得∠BCD也是直角,这样可推出四边形ABCD(四个角都是直角)是长方形;进而根据沿AC边对折后AB边与AD边完全重合,可知AB=AD,最后依据定义“长与宽相等的长方形是正方形”,可确认所折出的图形是正方形。这样,学生不仅获得了经验与逻辑相互统一的操作事实,更重要的是获得严格推理概念的机会,从而自觉地“使自己受理性的指挥”。

4.程序理解从有效性向合理性转变,达成更大的深刻性

“理论物理学并没有规定如何设计一座桥梁,但可以肯定的是理论物理包含了成功设计一座桥梁的原理,而且任何一座坚固的桥梁都必然符合某种物理学原理。”同样,人类在长期的数学实践活动中所获得的指向于某种特定问题解决的实用性数学程序或方法,也必然体现着某种数学思想与原理。在本人看来,正是后者构成了实用性程序存在价值的根基。因为“一个理论之所以有用,就因为它正确地反映了客观实在,也即具有一定的真理性”。

因此,在实际问题解决教学活动中,教师不应局限于课程教材所提供的基本方法或思路,而应以开放的视野适当引入与当前问题解决相关的致用之“术”,如在计算个人所得税教学活动中,可择机引入税务部门计算个人所得税的速算程序“应纳税额=应纳税所得额×适用税率—速算扣除数”;又如解决问题“已知圆柱的侧面积和半径,求体积”,在学生运用“圆柱体积=底面积×高”解决问题后,可以引入数学模型“圆柱体积=侧面积÷2×半径”,使当前问题获得简明、便捷、高效的解决。但是,教学活动又不能仅仅停留于程序应用的有效性,应引导学生对程序本身及其运用的合理性展开思辨,从而获得对程序的深刻理解,发展数学思维能力。(1)程序内在合理性思辨。在学生充分感受个人所得税“速算法”的有效性与便捷性基础上,教师相机追问:与税率相对应的速算扣除数是怎样确定的?为什么个人所得税可以这样来计算?学生通过深入思考与合作交流,亲身经历数学模型的再建构过程,不仅理解并掌握个人所得税的速算方法,而且深刻领悟其背后的数学思想(假设思想),形成具有弹性的知识表征。(2)程序应用合理性思辨。专家行为研究获得一个关键性结论:学习者最起码要知道所学知识什么时候能够被运用——运用的条件是什么。因此,教学活动不仅要让学生充分体会程序的有效性与真理性,还要让学生知道程序适用的具体条件,以防止对程序的过度“执著”而导致不合理运用。学生通过转换思维视角重新建模“圆柱体积=侧面积÷2×半径”之后,教师及时追问:对于“已知圆柱的侧面积和半径,求体积”,两圆柱体积计算公式中哪一种更为合适?你是否认为这一计算公式对于所有圆柱体积问题都是最为适合的?为什么?学生通过深入分析与比较,不仅明确程序适用的具体条件,知道程序何时、何地和为什么运用,而且对数学程序获得全面而深刻的认识,增强了自主选择与判断能力,提高了思维的灵活性与深刻性。

推荐访问:思辨 更具 挖掘 魅力 价值