浅谈幂指函数类未定式极限的计算

【摘要】本文给出了三个计算幂指函数类未定式极限的主要结论，它们在理论和应用两方面都有一定的意义

【关键词】幂指函数；极限；计算

1.引 言

全国硕士研究生入学考试的数学试题中常出现幂指函数类未定式极限的计算问题，这对众多考生而言，是一个难点，这也是微积分教学中的一个重点和难点，为了解决这一问题，本文给出了三个计算幂指函数类未定式极限的主要结论，并举例加以说明.

2.主要结果

文献［1］给出了计算1∞型极限的两种方法，在此基础上，我们有如下结论：

定理1 若limf(x)=0,limg(x)=∞且limg(x)［±f(x)］=a，则lim［1±f(x)］g(x)=ea.

定理2 若limf(x)=1，limg(x)=∞且limg(x)lnf(x)=a，则limf(x)g(x)=ea.

对00型与∞0型极限有如下结论：

定理3 若limf(x)=0(或∞),limg(x)=0且limg(x)•lnf(x)=a，则limf(x)g(x)=ea.

3.应用举例

下面举例说明上述三个定理的应用：

例1 求极限limx→0(x+ex)1x.

解 显然这是1∞型极限.

方法1 由于极限limx→01x(x+ex-1)=limx→01+ex-1x=2，

故原式=limx→0［1+(x+ex-1)］1x=e2.

方法2 由于极限

limx→01xln(x+ex)=limx→0ln［1+(x+ex-1)］x

=limx→0x+ex-1x=2，

故原式=e2.

方法3 由于极限limx→01x•xex=1，

故原式=limx→0e1+xex1x=e•e1=e2.

例2 求下列极限：

(1)limx→∞sin1x+cos1xx.

(2)limx→0ex+e2x+…+enxn1x，n∈N.

(3)limx→∞lnn-2na+1n(1-2a)n，其中，a为常数且a≠12.

解 显然，这三个考题均属于1∞型极限.

(1)方法1 ∵极限limx→∞xsin1x+cos1x-1=limx→∞sin1x+cos1x-11x=limx→∞sin1x1x+limx→∞-12x21x=1，

∴原式=limx→∞1+sin1x+cos1x-1x=e1=e.

方法2 令t=1x，则

原式=limt→0(sint+cost)1t=limt→0［1+(sint+cost-1)］1t.

又 limt→01t(sint+cost-1)=1，

故原极限=e1=e.

(2)由于limx→0(ex-1)+(e2x-1)+…+(enx-1)nx

=1nlimx→0ex-1x+limx→0e2x-1x+…+limx→0enx-1x

=1n(1+2+…+n)=12(n+1)，

故原式=limx→01+(ex-1)+(e2x-1)+…+(enx-1)n1x=e12(n+1).

(3)由于limn→∞nn(1-2a)=11-2a,

故原式=limn→∞ln1+1n(1-2a)n=lne11-2a=11-2a.

例3 求下列极限：

(1)limx→0+(arctanx)1+x-1-xx.

(2)limx→0+(cotx)1lnx.

解 (1)由于limx→0+1+x-1-xxxln(arctanx)

=limx→0+2xx(1+x+1-x)lnx

=limx→0+lnx=-∞，

故原式=0.

(2)由于limx→0+1lnxlncotx=limx→0+1cotx(-csc2x)1x=-limx→0+xtanxsin2x=-limx→0+x2x2=-1，故原式=e-1.

【参考文献】

［1］陈文灯，黄先开.数学题型集粹与练习题集（2004版）［M］.北京：世界图书出版公司，2003.

［2］武忠祥，吴云江，魏战线.历届数学考研试题研究(2004版)［M］.西安：西安交通大学出版社，2003.

［3］广东商学院数学系.经济数学基础——微积分(上册)［M］.广州：汕头大学出版社，2004.

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