分形理论在经济数学教学中的应用

摘 要:结合经济数学教学,探讨分形理论的发展,通过分析在教学中引入涉及分形背景的数学模型应用实例,体现数学建模的思想,剖析了Zipf法则与城市体系分维的统计等价性的问题。

关键词:分形理论 分形维数 Zipf法则 应用

中图分类号:O29;F224 文献标识码:A

文章编号:1004-4914(2010)05-137-02

分形理论是一门横断学科,从数学、振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学,从分子生物学到生理学、生物形态学,从材料科学到地球科学、地理科学,从经济学到语言学、社会学等领域已广泛应用。分形理论对方法论和自然观产生重要影响,用分形的观点看世界,这个世界实际上是以分形的方式存在和演化着的世界。

一、关于分形内涵的研究

分形几何的概念是曼德尔布罗特(1975)年首先提出来的。但最早的研究可追朔到维尔斯特拉斯(1872)构造的处处连续、处处不可微的函数,集合论创始人康托构造了有许多奇异性质的三分康托集,皮亚诺(1890)构造了填充平面的曲线,柯赫(1904)设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线,谢尔宾斯基(1915)设计了像地毯和海绵一样的几何图形,这些都是属于规则的分形图形。它们是按一定规则构造出来的、具有严格的自相似的分形图形,它们都属于自相似分形集。豪斯道夫(1910)开始了对奇异集合性质与量的研究,提出分数维概念。布利干(1928)将闵可夫斯基容度应用于非整数维,庞特里亚金(1932)等引入盒维数,贝塞考维奇(1934)更深刻地揭示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维,他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献,从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

现代分形理论的奠基人曼德尔布罗特(1977)出版了关于分形几何的第一部著作《分形:形状、机遇和维数》一书,它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想,总结了依据自相似性计算实验维数的方法。曼德尔布罗特(1982)的《大自然的分形几何学》出版,将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集,重新讨论盒维数,它比豪斯道夫维数容易计算,但是稠密可列集合维数与集合所在空间相等。在这两本书中他将分形的理论及应用推动到一个全新的阶段。

(一)分形定义、分类与分形维数

通常将具有某种方式的自相似性的图像或集合称为分形。所谓自相似性,就是指局部与整体相似。这类某种形式的自相似性,不只限于严格的几何自相似性,也可能是通过大量的统计而呈现出来的不很严格的自相似性。由于局部中又有其局部,而它们都是自相似的,这样整体与局部都具有无穷尽的自相似的内部结构,且在每一小局部中所包含的细节并不比整体所包含的少,所以分形是有无穷自相似嵌套性的图形或集合。

分形至今无统一定义,因为每种定义都不能涵盖所有的分形。曼德尔布罗特(1982)对其定义为“分形是一个豪斯道夫-贝塞考维奇维数严格大于其拓扑维数的集合。”此定义包括一大类具有分数维的分形集,但忽略了某些维数为整数的分形集。曼德尔布罗特(1986)给出了分形的另一个定义:分形具有在某种方式上部分与总体相似的形状特征。这个定义强调了分形集具有某种自相似性特征,但仍有很多分形集没有包括其中。

分形一般分成两大类,确定性分形和随机性分形。如果算法的多次重复仍然产生同一个分形图,这种分形称之为确定性分形。确定性分形具有可重复性,即使在生成过程中可能引入了一些随机性,但最终的图形还是确定的。随机分形指的是尽管产生分形的规则是确定的,但受随机因素的影响,虽然可以使每次生成过程产生的分形具有一样的复杂度,但是形态却会有所不同。随机分形虽然也有一套规则,但是在生成过程中对随机性的引入,将使得最终的图形是不可预知的。即不同时间的两次操作产生的图形,可以具有相同的分维数,但形状可能不同,随机分形不具有可重复性。

曼德尔布罗特引进了分数维,给出了一个分形集充满空间的复杂程度的描述。每个分形集都对应一个以某种方式定义的分形维数,这个维数值一般是分数的,但也有整数维的分形集。分形维数的定义有多种方法,常用的分形维数概念有三种:豪斯道夫维数、自相似维数以及盒维数。在分形维数中,豪斯道夫维数是最古老的最重要的一种。豪斯道夫维数具有对任何集都有定义的优点,由于它是建立在相对比较容易处理的集合测度概念的基础上,数学应用比较方便。它的主要缺点是在很多情形下用计算的方法很难计算或估计它的值,因此,还有许多其他维数定义也常常被应用。

分形维数是分形理论中核心的概念与内容,它是由曼德尔布罗特为表征曲线的复杂性和处处不可微性而提出的,是刻画分形体复杂结构的主要工具,引入分形维数正是分形理论的新颖之处。应用分形理论研究自然现象最重要的问题是如何解释分形维数的意义,分形维数的意义应包括分形维数本身的几何意义和研究对象参量及其尺度变化的意义两方面,两者结合才是特定分形维数的含义。

(二)分形的特征

肯尼思·法尔科内(1990)认为分形集F具有以下特征:(1)F具有精细的结构,即在任意小的比例尺度内包含整体。(2)F具有不规则性,使得它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。(3)F一般具有某种自相似性,可能是近似的或统计意义下的。(4)通常F的分形维数(以某种方式定义)大于它的拓扑维数。(5)在大多数令人感兴趣的情形下,F可以通过递归、迭代等简单的方式产生。(6)其大小不能用通常的测度(例如面积、长度、体积等)来度量。

(三)分形的基本性质

分形具有两个基本性质:自相似性和标度不变性。自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某种系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似,另外在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性; 所谓标度不变性,是指在分形上任选一局域,对它进行放大,得到的图形会显示出原图形的形态特征。

二、分形理论在经济数学教学中的应用

当前分形理论的研究主要分三种类型:分形的基础理论研究、分形图形的生成方法研究及分形理论在实际应用中的研究。分形理论在化学、物理学、数学、材料科学、地震学、生命科学、艺术、计算机图形学等多个学科多个方面有广泛的应用,在广告、电脑游戏、计算机动画、书籍和刊物的封装、艺术作品中,也已经成功地应用了分形技术。在经济数学教学中适当补充一些分形知识,对提高学生思维品质有很大的益处。

(一)Zipf法则及维数

在教学中引入涉及分形背景的数学模型,结合实例,可以体现数学建模的思想,帮助学生认识到分形的实际应用价值,从而激发学生学习兴趣。国内外研究成果表明,城镇体系的人口及经济规模的等级分布符合一些数学模型,如Pareto分布模型及G.K.Zipf的等级规模分布模型等,这些数学模型为城镇体系的分析与规划提供了科学依据。Zipf(1949)把自己发现的规律应用于城市人口、企业收入等现象,研究这些数量跟等级的关系。在其出版的《人类行为与最小努力原则-人类生态学引论》中,他进一步扩展了视野,讨论了人类社会的众多社会、文化现象及自然现象。根据前人的研究成果提出了一个通用的城市规模分布法则(Zipf"s law):Pr=P1r-q(1)式中r为城市位序,Pr为位序为r的城市的人口数,系数P1为首位城市人口,为Zipf指数。类比于豪斯道夫维数公式可知,式(1)服从幂定律,为一分形模型,参数q具有分维性质,它是分维D的倒数,即q=1/D。对(1)式作对数变换有:lnPr=lnp1-ql(2)由于幂函数关系等价于对数线性关系,因此,只要双对数坐标图上的位序-规模数据点的直线关系成立或者部分成立,即可判定分形的存在,直线上点的范围即为无特征尺度的区域。以l为横坐标,lnpr为纵坐标作出散点图,进行线性回归拟合可求出其城镇体系规模结构的分维数。已有研究表明中国668个建制城市的前550多个城市服从Zipf定律,即将全部10万以上人口的城市囊括在内。城市形态的分维在微观或局域上虽然参差不齐,但在宏观或整体上却有一定的规律,大量标本的平均值接近于1.71。

(二)分形图形的数学分析

可以让学生利用各种信息网络环境资源查看分形图,挖掘分形图蕴涵数学思想,使学生从一个新的视角认识传统图形。在教学中关注学生自主学习,启发学生发现分形图形所具有对称、节奏和韵律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、缠绕、和丰富的变换等特点,体会分形图形的美学特征。分形图形在空间结构上体现传统艺术形态中的对称形式,分形图形具有一种局部和更大的局部、或者是局部和整体的对称,具有无限精细的结构层次,在自相似的递归结构中,无论是在哪一个层次的局部都保持整体的基本形态,获得整个图形的和谐、秩序与均衡。分形树、谢尔宾斯基三角形和经典的曼德尔布罗特集等就是具有自相似特性的典型分形图形。这种自相似性也可以从复映射的经典M集的逐步放大得到,利用MATLAB,改变常数c的取值,可以得到各式各样的Julia集。以上表明,本质上艺术与数学最为接近,区别只是使用不同的语言来表达。

三、结语

分形是结构的深化,正是分形理论的提出和应用使人们以比从前更深刻更准确的方式方法去认知世界,为人们认识世界提供了新视角和新思路。教学中适当引进有关分形的知识案例,可以多维度地培养大学生数学理念,从而达到全面提高学生思维能力水平,培养出更加适应新时期发展的创新型人才。

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(作者单位:广东女子职业技术学院 广东广州 511450)

(责编:贾伟)

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