两大部类持续扩大再生产的优化
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摘要基于经典的马克思两大部类社会再生产公式，建立了离散确定型的持续扩大再生产的优化问题的动态规划模型.在生产资料部类的不变资本产出率高于另一部类的条件下，动态规划的指标函数是作为决策变量的生产资料部类积累率的单调函数，因而可以使用逆序解法或者顺序解法， 获得唯一的最优策略和最优指标函数.借助《资本论》中的一个举例，计算验证了最优解.
关键词政治经济学，持续扩大再生产；优化；动态规划；逆序解法
中图分类号F224，F014.3文献标识码A
The Optimization of the Twosector Continuous
Expanded Reproduction
TAO Weiqun
（Nanjing Branch， The People’s Bank of China， Nanjing， Jiangsu210004， China）
AbstractBased on classical Marx"s twosector reproduction scheme， this paper established a dynamic programming model of the optimization problem of the continuous expanded reproduction. The model is a dispersed and determined type. Depending on the condition that the constant capital output ratio of the capital goods sector is higher than that of another sector ， the target function in the dynamic programming is a monotone function of the accumulation rate of the capital goods sector ， which is treated as a decision variable. Therefore， only the optimum strategy and optimum target function can be obtained by the inverted sequence solution. An example from Marx"s "Das kapital" was drawn upon to verify the optimum solution.
Key wordspolitical economy； continuous expanded reproduction； optimization； dynamic programming； inverted sequence solution
1引言
马克思的两大部类社会扩大再生产理论与模型对于研究国民经济增长具有重要指导意义，两大部类持续扩大再生产的优化问题可以为国民经济持续增长的优化提供理论指导.这一优化问题本质上是一个两大部类扩大再生产的静态最优化问题序列，因此，它的解也是这一序列的静态最优化问题的序列解.两大部类持续扩大再生产优化问题的根本意义，是通过寻求序列化的最优策略（控制）而获得扩大再生产的动态最优增长路径.李海明、祝志勇（2012）把马克思扩大再生产理论与一般动态均衡分析方法结合，建立了马克思社会扩大再生产动态均衡模型，并运用最优控制方法推导模型的最优解＼[1＼].不过，他们的研究存在两个方面的不足，因而很大地削弱了获得的结果.第一， 假定了 “两大部类可变资本之比不变”.鉴于陶为群、陶川（2012）已经论证了在“两大部类可变资本之比不变” 条件下，扩大再生产的决策变量取值是被两大部类可变资本之比所唯一确定的＼[2＼]，因而这个假定实际上就把扩大再生产的动态最优化问题简化成为确定状态变量的最佳初始值，改变了动态最优化问题的根本意义.第二，把两大部类扩大再生产动态模型设计成一个连续确定型模型，因而改变了经典的马克思再生产公式是离散确定型模型的基本设定.陶为群、陶川（2013） 使用“价值系数法” 简便地获得了经典的马克思两大部类扩大再生产的静态优化问题的最优解＼[3＼]，并且陶为群（2015）证明了两大部类扩大再生产持续进行的充分必要条件＼[4＼].事实上，两大部类持续扩大再生产的优化问题，是一个以扩大再生产持续进行作为前提的两大部类扩大再生产的静态最优化问题序列.他们这两方面的研究结果，为求解两大部类持续扩大再生产的优化问题做了铺垫.在生产资料部类的不变资本产出率高的条件下，两大部类持续扩大再生产的优化问题可以构成一个离散确定型的动态规划，并且使用逆序解法求解（编篡委员会，2001） ＼[5＼].
经济数学第 32卷第3期
陶为群：两大部类持续扩大再生产的优化
2两大部类扩大再生产的当年资本
积累均衡和结构状态变化
马克思社会再生产理论在两大部类社会再生产公式得到集中体现.按照马克思社会再生产理论，社会生产部门划分成生产生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、Ⅱ部类.第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在t年初的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为 C（t）j， V（t）j，按照经典的马克思再生产公式中的假定，设C（t）j和V（t）j都是每年周转一次；那么，当年C（t）j作为中间消耗转移到产品当中，V（t）j在产品当中新创造出来，并带来它的剩余价值M（t）j.社会产品的价值当中包含了由生产资料消耗转移的价值、重新生产出的劳动力的价值，分别与不变资本的转移、可变资本的再生产对应，第j部类产品当中消耗的不变资本对于可变资本的固定不变倍数hj表示该部类的资本有机构成.剩余价值M（t）j与可变资本V（t）j之间保持固定不变的比率，以ej表示，是第j部类的剩余价值率.以Y（t）j，X（t）j分别表示第j部类新创造价值、总产值，对确定了含义的字母前面加符号Δ表示在当年再生产过程中所形成的增量，以M（t）xj表示第j 部类企业所有者把本部类的剩余价值中用于个人消费的部分.由于剩余价值M（t）j是形成本部类的新增资本和企业所有者的剩余价值消费的唯一来源，所以社会再生产公式中有剩余价值使用的行为方程：
ΔC（t）j+ΔV（t）j+M（t）xj=M（t）j，
j=Ι，ΙΙ. （1）
根据式（1）和每个部类内部，总产值的各构成部分之间保持固定不变关系，可以获得社会再生产的当年资本积累均衡方程：
ΔC（t）Ι+ΔC（t）ΙΙ=Y（t）Ι-C（t）ΙΙ. （2）
扩大再生产是有剩余价值用作资本积累，成为新增不变资本和可变资本.以μ（t）j表示第j部类的剩余价值积累率，那么μ（t）j是扩大再生产的决策变量，式（1）可以改写成：
ΔC（t）j+ΔV（t）j=μ（t）jM（t）j.（3）
用两大部类新创造价值之间的比例
φ（t）=Y（t）11/Y（t）1（4）
表示两大部类总产品之间的结构状态，φ（t）是社会再生产系统中的状态变量.φ（t）与资本有机构成、剩余价值率参数hj，ej共同体现了两大部类再生产系统的完整结构.由于总产值增量的各构成增量之间也保持同样的固定不变关系，将式（3）和φ（t）的表达式代入资本积累均衡方程式（2），得到：
h1e1（1+h1）（1+e1）μ（t）1
+h11e11（1+h11）（1+e11）φ（t）μ（t）11
=1-h111+e11φ（t）.（5）
式（5）是以两个部类积累率为扩大再生产的待定决策变量的资本积累均衡方程.可以把μ（t）Ι作为自由变量，从式（5）解出μ（t）ΙΙ：
μ（t）ΙΙ=1+hΙΙeΙΙ{1+eΙΙhΙΙφ（t）[1-hΙeΙ（1+hΙ）（1+eΙ）μ（t）Ι]-1}. （6）
式（6）就是扩大再生产的解.陶为群（2015）证明了＼[4＼]，对于任何t年，在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类即eΙ/（1+hΙ）≤eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，社会扩大再生产持续进行的充分必要条件是
φmin≤φ（t）<φmax， 式中φmin=11+eΙ（1+eΙΙhΙΙ）1+eΙ/（1+hΙ）1+eΙΙ/（1+hΙΙ）；φmax=1+eΙΙhΙΙ. （7）
并且决策中的自由变量μ（t）Ι的定义域是
Max0，（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ[1-φ（t）φmax（1+eΙΙ1+hΙΙ）]
≤μ（t）Ι≤Min（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax），1 （8）
和μ（t）Ι>0.在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类即eΙ/（1+hΙ）>eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，社会扩大再生产持续进行的充分必要条件是
φ**≤φ（t）<φmax，式中
φ**=φmax1+eΙΙ/（1+hΙΙ）[1-hΙ1+eΙ（eΙΙ1+hΙΙ）]. （9）
并且决策中的自由变量μ（t）Ι的定义域是
Max0，（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ[1-φ（t）φmax（1+eΙΙ1+hΙΙ）]
≤μ（t）Ι≤MinμΙ*，（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax）.（10）
式中μ*Ι=eΙΙ（1+hΙ）eΙ（1+hΙΙ） 和μ（t）Ι>0.
扩大再生产的最一般结果就是有新增的产出.新创造价值Y（t）j是该部类净额意义上的增加值，能够一般地代表该部类的产出.该部类的第t+1年相对于第t年的新增产出是ΔY（t）j.根据总产值的各构成部分之间保持固定不变关系以及式（3），可获得各个部类的新增产出与积累率之间的确定关系式.
ΔY（t）j=ej1+hjμ（t）jY（t）j，j=Ι，ΙΙ. （11）
2个部类的新增产出总和是
ΔY（t）=ΔY（t）Ι+ΔY（t）ΙΙ. （12）
能够最一般地表示社会扩大再生产的结果.因而第t+1年相对于第t年全社会的产出增长率是
ΔY（t）Y（t）=ΔY（t）Ι+ΔY（t）ΙΙY（t）Ι+Y（t）ΙΙ. （13）
将式（11）和φ（t）的表达式（4）代入式（13），得到：
ΔY（t）Y（t）=μ（t）ΙeΙ1+hΙ（11+φ（t））
+μ（t）ΙΙeΙΙ1+hΙΙ（φ（t）1+φ（t））. （14）
将式（6）所表示的扩大再生产的解代入式（14），得到全社会的产出增长率与状态变量φ（t）和唯一的决策变量μ（t）Ι之间的关系式.
ΔY（t）Y（t）=1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））-1
+μ（t）ΙeΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]. （15）
资本积累使下一年社会再生产的产出增加，而2个部类的新增产出会使2大部类结构状态发生变化.下一年的两大部类结构状态与当年的状态和下一年的两个部类产出增长率有关.
φ（t+1）=Y（t+1）ΙΙY（t+1）Ι=Y（t）ΙΙ（1+ΔY（t）ΙΙ/Y（t）ΙΙ）Y（t）Ι（1+ΔY（t）Ι/Y（t）Ι）
=φ（t）1+ΔY（t）ΙΙ/Y（t）ΙΙ1+ΔY（t）Ι/Y（t）Ι. （16）
当第t年实现了扩大再生产，可将式（11）代入式（16），得到：
φ（t+1）=φ（t）1+μ（t）ΙΙeΙΙ/（1+hΙΙ）1+μ（t）ΙeΙ/（1+hΙ）. （17）
再将2个部类积累率之间的关系式（6）代入式（17），得到下一年的结构状态与当年决策变量μ（t）Ι之间的函数关系，也就是状态转移方程.
φ（t+1）=1+eΙΙhΙΙ（1+eΙ）[1+hΙ+eΙ1+μ（t）ΙeΙ/（1+hΙ）-hΙ]. （18）
持续扩大再生产是一序列静态意义下的社会扩大再生产的前后衔接.由于资本积累会使两大部类结构状态发生变化或者不发生变化，因而状态转移方程可以作为纽带，通过第Ⅰ部类的资本积累把前后2个相邻年份的社会扩大再生产的衔接起来.
3两大部类持续扩大再生产的
动态规划及逆序解法
全社会的产出增长能够代表经济发展.以y（t）表示第t+1年相对于第t年的经济发展速度.则
y（t）=1+ΔY（t）Y（t）. （19）
将式（15）代入式（19），得到经济发展速度与决策变量之间的关系式：
y（t）=1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））+μ（t）ΙeΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]. （20）
第t+1年的产出与当年的经济发展速度和第t年的产出具有确定的关系：
Y（t+1）=Y（t）y（t） （21）
考察持续n+1年的扩大再生产，对于k=1，2，…， n，根据式（21），第k+1年的全社会产出是被第1年的产出和此后各年的全社会经济发展速度所确定.
Y（k+1）=Y（1）∏kt=1y（t），k=1，2，…， n.（22）
根据式（20），决策变量影响着发展速度，因而经济发展速度可以作为指标函数.
当考察持续n+1年的社会扩大再生产，根据式（22）需要确定n个年份对于前一年的发展速度， 因而阶段变量是n.扩大再生产的状态变量从第k年的φ（k）到第k+1年的φ（k+1）之间，对应的阶段指标是第k+1年相对于第k年的经济发展速度y（k）（k=1，2，…， n）.当从第k年的两大部类的结构状态φ（k）出发，采用后部k段子策略，则后部指标函数是：
∏nt=ky（t） k=1，2，…， n. （23）
由于指标函数是阶段指标的乘积，因而可以分离，根据式（23），有：
∏nt=ky（t）=y（k）∏nt=k+1y（t），
k=1，2，…， n-1. （24）
在一定条件下，式（18）、（20）和（24）可以构成一个持续n+1年的社会扩大再生产的动态规划，并且可以使用逆序解法求解.
根据式（23）可以确定，在从第k年的状态φ（k）到第n+1年的终止状态的后部子过程，最优指标函数是
fkφ（k）=Max∏nt=ky（t） k=1，2，…， n. （25）
使用逆序解法，根据式（24）和（25）可以列出持续n+1年的社会扩大再生产的逆序动态规划方程：
fk（φ（k））=fk+1（φ（k+1））Max（y（k）），fn+1（φ（n+1））=1.
k=n，n-1，…，2，1 （26）
式（26）当中的第二式为边界条件.式（20）和（26）构成动态规划的逆序解法的基本方程.
根据每个部类内部总产值的各构成部分之间的固定不变关系，第j 部类的不变资本产出率是Y（t）j/C（t）j=（1+ej）/hj，于是根据经济发展速度与决策变量之间的关系式（20），在第Ⅰ部类的不变资本产出率高于第Ⅱ部类， 即
1+eΙhΙ>1+eΙΙhΙΙ （27）
的条件下，指标y（t）是决策变量μ（t）Ι的严格单调增函数；是状态变量φ（t）的严格单调减函数.现在根据逆序动态规划方程式（26），首先确定从第n年到第n+1年的后部子过程最优指标函数，最优指标函数是Max（y（n）），也就是第n+1相对于n年的发展速度取得最大值.根据式（20），这就要求第n年决策变量μ（n）Ι取最大值并且状态变量φ（n）取最小值.
根据第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类或者高于第Ⅱ部类的两种不同情形，扩大再生产持续进行的充分必要条件，分别是各年状态变量的取值满足式（7）或者式（9）.又根据状态转移方程式（18），当年决策变量将决定下一年的状态变量，所以，各年状态变量的取值满足式（7）或者式（9）的约束条件又导致对于前一年决策变量取值的约束条件式（8）或者式（10），并且决策变量取值大于零.无论按照式（8）或者式（10）， 决策变量μ（t）Ι的最大值Max（μ（t）Ι）都是状态变量φ（t）的单调减函数，记为Max（μ（t）Ι）=qΙ（φ（t））.根据式（8）和式（10），可以明确地写出qΙ（φ（t））.在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类即eΙ/（1+hΙ）≤eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，
qΙ（φ（t））=1，φmin≤φ（t）≤φmax11+eΙ（1+eΙ1+hΙ）；（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax），
φmax11+eΙ（1+eΙ1+hΙ）≤φ（t）<φmax；
t=1，2，…， n. （28）
在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类即eΙ/（1+hΙ）>eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，
qΙ（φ（t））
=（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax），
φmax[1-hΙ1+eΙ（eΙΙ1+hΙΙ）]≤φ（t）<φmax；μΙ*，φ**≤φ（t）<φmax[1-hΙ1+eΙ（eΙΙ1+hΙΙ）]；
t=1，2，…， n. （29）
于是在第n年的最优决策是：
μ（n）Ι*=qΙ（φ（n））. （30）
而根据式（30）与式（28）或者式（29），最优决策μ（n）Ι*又是第n年的状态变量φ（n）的单调减函数，当且仅当φ（n）取最小值时μ（n）Ι*取得最大值.而根据状态转移方程式（18），φ（n）是第n-1年的决策变量μ（n-1）Ι的严格单调减函数，因而φ（n）取最小值又逆向要求第n-1年的决策变量μ（n-1）Ι取最大值.归结起来，第n年的最优决策是决策变量μ（n）Ι取最大值并且状态变量φ（n）取最小值；同时又逆向要求前一年也就是第n-1年的决策变量取最大值.继续确定从第n-1年到第n+1年的后部子过程最优指标函数fn-1（φ（n-1））.根据逆序动态规划方程式（26）和刚刚得到的解析结果，
fn-1φ（n-1）=1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（n））
+μ（n）Ι*eΙ（1+hΙ）（1+φ（n））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]
×Max（y（n-1））. （31）
使用与上述同样的道理解析，式（31）中的Max（y（n-1））要求第n-1年的最优决策是决策变量取最大值，这一点与第n年的最优决策逆向要求第n-1年的决策变量取最大值一致；并且第n-1年的最优决策还要求状态变量φ（n-1）取最小值，从而根据状态转移方程式（18）也逆向要求前一年也就是第n-2年的决策变量取最大值.同样道理，根据逆序动态规划方程式（26）逆推下去，直到确定持续n+1年的社会扩大再生产的原过程的整体最优函数f1（φ（1））.对于原过程的整体最优决策的要求是各年份的决策变量μ（t）j都取最大值（t=1，2，…， n）并且第1年（初始年）的状态变量φ（1）取最小值.
4两大部类扩大再生产的动态规划
最优策略和整体最优函数
根据后部子过程的最优指标函数式（25）和逆序动态规划方程式（26），原过程的整体最优函数是：
f1（φ（1））=∏nt=1Max（y（t））. （32）
由于初始年状态变量φ（1）是既定的，因而根据以上解析结果以及式（28）或者式（29），可以确定：
μ（1）Ι*=qΙφ（1）. （33）
进而根据状态转移方程式（18）和式（28）或者式（29），可以顺序逐年迭代确定：
φ（t+1）=1+eΙΙhΙΙ（1+eΙ）[1+hΙ+eΙ1+eΙ1+hΙμ（t）Ι*-hΙ]，
μ（t+1）Ι*=qΙφ（t+1）；
t=1，2，…， n-1 .（34）
将式（33）和（34）代入整体最优函数f1（φ（1）），f1（φ（1））就得以最终确定.
f1（φ（1））=∏nt=1{1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））
+μ（t）Ι*eΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]}.
（35）
根据式（33）和（34），也最终确定从第1年到第n+1年原过程的最优策略.
p1，n+1*=μ（n）Ι*，μ（n-1）Ι*，…，μ（1）Ι*. （36）
式（36）清晰地表明：持续 n+1年扩大再生产的动态优化问题的最优解，是一序列的静态最优化问题的序列解.扩大再生产的初始状态φ（1）和原过程的最优策略共同确定了持续扩大再生产的最优增长路径.
从以上解析的过程看到，持续n+1年的社会扩大再生产优化的动态规划也可以使用顺序解法求解.
综合以上解析的结果，在第Ⅰ部类的不变资本产出率高于第Ⅱ部类的条件下，只要初始年状态变量φ（1）满足扩大再生产的充分必要条件式（7）或者式（9），那么式（20）、（25）、（26）可以构成一个持续扩大再生产优化的动态规划，并且可以使用逆序解法或者顺序解法求解.全部过程的最优策略由式（33）、（34）和（36）表示；整体最优函数的取值由式（33）、（34）和（35）共同表示.最优策略和整体最优函数的取值都是被两个部类的资本有机构成、剩余价值率参数和初始年结构状态φ（1）唯一确定.
考虑连续n+1年的扩大再生产优化，应当以在n+1年里相对于初始产出Y（1）的各年新增产出总和最大作为目标函数；也就是以n+1年里的各年产出总和最大作为目标函数.根据式（22），n+1年里各年产出总和是
∑n+1t=1Y（t）=Y（1）+∑nk=1Y（1）∏kt=1y（t）. （37）
在第Ⅰ部类的不变资本产出率高于第Ⅱ部类的条件下，只要初始年状态变量φ（1）满足扩大再生产的充分必要条件式（7）或者式（9），则第k+1年的最大产出是
Max（Y（k+1））=Y（1）∏kt=1{1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））
+μ（t）Ι*eΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]}，
k=1，2，…， n. （38）
各年产出的总和最大值是
Max∑n+1k=1Y（k）=Y（1）+∑nk=1MaxY（k+1）. （39）
将获得的μ（t）Ι*代入式（6），就相应确定μ（t）ΙΙ*；将获得的μ（t）Ι*，μ（t）ΙΙ*代入式（3）以及式（1），可以确定第t年的每个部类新增不变资本、可变资本、企业所有者剩余价值消费，也就是第k年两大部类扩大再生产的一种具体安排（t=1，2，…， n）.
5数值计算两大部类持续扩大
再生产的最优解
下面借助马克思《资本论》第二卷第二十一章中的第二例＼[6＼]，对以上获得的持续扩大再生产的动态规划的最优解，进行数值计算验证.此例设定两个部类结构参数hⅠ=5，hⅡ=5.017 5，eⅠ=eⅡ=1，满足第Ⅰ部类的不变资本产出率高于第Ⅱ部类的条件.马克思用此例做了连续三年的计算，说明一般情形下两个部类的扩大再生产过程.该例是本文所论析的第Ⅰ部类的资本利润率高于第Ⅱ部类即eΙ/（1+hΙ）>eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形.直接引用该例中的第1年（起始年）数据，列在表1中的第1年的前3列.根据式（9），计算出φ**=0.199 8，φmax=0.398 6；于是两大部类社会再生产的结构状态变量取值区间是半开区间[0.199 8， 0.398 6 ）.第1年两大部类社会再生产的结构状态变量φ（1）=0.285， 处于上述半开区间内，满足两大部类扩大再生产持续进行的充分必要条件式（9）.
现计算持续5年优化扩大再生产的结果，于是在动态规划模型中n=4.根据式（33）和（34）计算出μ（t）Ι*和φ（t+1）（t=1，2，3，4）.再根据式（3）计算出ΔC（t）j*，ΔV（t）j*和ΔY（t）j*.结果列在表1.根据发展速度的定义计算出的各年发展速度实际值与按照式（20）计算出的各年发展速度最大值完全一致.于是，计算验证了所获得的多年扩大再生产的动态规划最优策略和最优值函数正确.将表1中第1至5年的全社会新创造价值相加，总和是16 205，是5年全社会产出的最大值.
6结论
综合以上研究结果表明，基于经典的马克思两大部类社会再生产公式，可以建立离散确定型的持续扩大再生产的优化问题的动态规划模型，并且在生产资料部类的不变资本产出率高的条件下，使用逆序解法或者顺序解法获得唯一的最优解.最优解是被两个部类的资本有机构成、剩余价值率参数和初始年结构状态所确定.
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