浅析三阶魔方中的数学因素

摘要：从数学的角度对三阶魔方的外观和还原过程进行了分析，找到了排列组合的乘法和加法原理、图形对称性、群论等数学知识在魔方中的体现，指出了利用魔方与数学的联系将魔方作为教具的优势，有利于拓宽学生对魔方的认识，加深对数学的理解，感受数学的普遍存在性。

关键词：三阶魔方；组合原理；魔方还原；对称性；魔方群

一、魔方的基本概念

1.魔方的构成

三阶魔方是由3×3×3-1=26个小方块组成的立方体，有6个面（还原之后每个面颜色相同，共6种颜色），每个面有9个小面，共54个小面。26个小方块包括6个中心块（仅一个可见面）、12个棱块（两个可见面）、8个角块（三个可见面）。

2.魔方的还原

魔方每个面都可以绕轴任意转动，随便转动几个面，魔方就会成为颜色斑驳的状态。将这样的状态改变成为每个面上的所有小面颜色都相同称为魔方的还原。还原过程实际就是根据每一面中心块的颜色，对棱块和角块进行“对色”与“对位”。

二、魔方中的数学

1.魔方的组合原理

由排列组合中的乘法和加法原理可知，三阶魔方共有 种状态。除去被轴固定的6个中心块外，剩余20个小块，8个角块放在8个角位置，全排列为8！，每个角块的三种颜色因为方向的不同又有3种方法，因此共有8！×38种排列；同理，12个棱块共有12！×212种排列。但是魔方还原过程中，保持其他小块不动时，不可以单独改变一个角块的朝向，不可以单独改变一个棱块的朝向，也不可以单独交换一对棱块或一对角块的位置，因此需要除去3×2×2。由此可见，要凭运气把一个颜色斑驳的魔方还原成同面同色几乎是不可能的。

2.魔方的对称性

对称是一个几何图形Φ的如下性质：在某个变换群G的作用下，Φ被映射到自身上，这个群称为对称群。如果变换群G是一条直线，那么几何图形Φ就是关于直线G的对称图形；如果变换群G是一个点，那么几何图形Φ就是以点G为中心的对称图形。若以点G为中心的对称图形Φ在平面内绕着G旋转360°/n（n是一个整数）后与自身重合，那么Φ有一个n阶对称，且G称为其对称中心。如图a，b，c分别是以O为中心的2阶、4阶、3阶对称。这样的对称性在正方体中完全展现，只是此时绕平面内某点的旋转换成了空间中绕某直线的旋转。

三阶正方体魔方具有2阶、3阶、4阶对称轴，这样的对称性是除了球体以外的其他物体所不能比拟的［1］。魔方的还原过程就在于旋转中魔方色块位置的交换，对于魔方每层每次的旋转都是绕着该层中心块的变换，这样的保持点间距离不变的空间运动也充分刻画了物体的对称程度。

3.魔方群

魔方的转动是指将魔方某个面上的所有块顺时针（面对该面）旋转90°。相应的，若是逆时针旋转则称为逆转动。

为了记录下转乱、复原的过程，习惯上采用由David Singmaster发明的符号来书写。以英文Up（上）、Down（下）、Front（前）、Back（后）、Left（左）、Right（右）的第一个字母分别表示魔方的上、下、前、后、左、右六个面的转动；用小写字母u、d、f、b、l、r表示各面及相应的中心块；用xy来表示位于x面y位置的棱块小面，如uf表示u（上）面f（前）位置的小面；用xyz表示位于x面yz位置的角块小面，如ufr表示位于示u（上）面fr（前右）位置的小面。

在对魔方任意一个面进行转动的时候，该面所在层的中心块不会改变，其余20个小面的位置随之发生改变，这样的转动可以用一系列小面的置换来表示：

U=（ulb ubr urf ufl ）（ub ur uf ul）（bul rub fur luf）（bu ru fu lu）（bru rfu flu lbu）

D=（dbl dlf dfr drb）（db dl df dr）（bld lfd frd rbd）（bd ld fd rd）（bdr ldb fdl rdf）

F=（flu fur frd fdl）（fu fr fd fl）（ufl rfu dfr lfd）（uf rf df lf ）（urf rdf dlf luf）

B=（bul bld bdr bru）（bu bl bd br）（ulb ldb drb rub）（ub lb db rb）（ubr lbu dbl rbd）

L=（luf lfd ldb lbu）（lu lf ld lb）（ufl fdl dbl bul）（ul fl dl bl）（ulb flu dlf bld）

R=（rfu rub rbd rdf）（ru rb rd rf）（urf bru drb frd）（ur br dr fr）（ubr bdr dfr fur）

设G=U，D，F，B，L，R是魔方所有转动生成的集合，可以证明该集合以合成作为运算构成一个群，称为魔方群。它是上述一系列小面的置换作为生成元的一个循环群。［2］

G中的元素代表了所有置换的情形，魔方变换的所有状态都能够找到与之相应的元素，魔方从还原状态经过一系列变化再次还原，实现了一次循环，实际也是G中的元素经过周期性的操作能够实现的，从中可以看到魔方还原与循环群的共性。

当初厄尔诺·鲁比克教授发明魔方，就是将其作为帮助学生增强空间思维能力的教学工具。经过观察、分析，我们不仅可以找到魔方中蕴涵的数学知识，也看到了魔方中的教学因素：通过魔方的外观展示和结构剖析帮助学生建立立体模型的概念，增强空间观念；通过魔方还原有助于学生深刻感受置换、循环，理解群论的相关概念。从外观一个简单的立体图形，到还原过程中的各类变换，魔方用自己的方式在讲述着数学，实践着数学。

参考文献：

［1］郑燕．关于初中“魔方与数学”选修课程的设置与实施研究［D］．

［2］朱磊．群论在魔方中的应用［D］．

（作者单位 四川建筑职业技术学院）

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