数学文化融入离散数学的教学研究

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摘要：“离散数学”是计算机和信息类专业中一门重要的专业基础课程，在分析当前数学文化融入离散数学教学现状的基础上，结合离散数学教学实践，从融入的前提、融入的方式和融入度的把握等方面，对课堂教学中如何充分融入数学文化进行探讨。

关键词：离散数学；数学文化；教学改革

离散数学是高等院校信息与计算机专业的一门重要的基础理论课，无论是对学习专业的后继课程，还是对以后参加工作，都具有重要的意义。然而，离散数学课程的高度抽象性和极强的理论性使得许多学生对该课程望而却步，但又不得不学，只好敷衍了事，学习态度极为消极。因此，许多专家学者对该课程的教学进行了积极的探索，提出了不少的方法和措施，如改编教材、改革教学方式和教学手段，等等。笔者在教学实践中，积极探讨如何将数学文化渗透到教学中去，取得了较好的效果。

1数学文化融入离散数学教学的意义

数学文化是人类文化的重要组成部分,也是推动社会发展的动力。学习数学文化有着十分重要意义，通过数学文化的学习，不仅能使我们对数学发展的来龙去脉有一个系统地了解，而且还可以了解和掌握伟大数学家解决问题的方法和思想，了解数学家在追求真理过程中体现出的坚强意志和精神，了解数学思想、数学理性精神在人类社会发展过程中所起的重要作用，同时提高了学生的数学素养以及做人做学问的品格。

离散数学作为一门重要的基础理论课程，它不仅具有数学学科所具有的高度的抽象性，极强的理论性，而且内容较多，涵盖数理逻辑、集合论、代数系统、图论等领域[1]前言，每部分内容都有大量的概念和结论需要理解和掌握，再加之课时紧张，致使教师在授课时基本采取满堂灌的教学方式，无法调动学生学习的积极性。

而数学文化的渗透和穿插，使得学生了解到高度抽象性数学内容后面，存在着一个丰富多彩，奇异美妙的数学文化世界，从而可以激发学生学习的兴趣。再者，与离散数学知识相关联的数学文化内容千姿百态，如何选取、穿插、讲解才能将数学文化渗透到离散数学教学中去？采用何种教学方式才能取得更好的教学效果？如何展示才能让学生更好地了解那奇妙的数学世界和数学人物？这都要求教师要掌握和熟悉与离散数学知识相关的数学文化知识，促使教师不断提高自身的数学休养。

2数学文化融入离散数学教学的实践

2.1教学状况

针对当前离散数学教学中存在的诸多问题，许多专家学者对离散数学教学进行了多方面的尝试，比如，针对不同专业进行有目的的教学改革[2-3]，结合我国著名教育家孔子的思想进行教学[4]，改进教学方式和教学手段[5-6]，优化教学内容，提高教学水平和质量[7-8]，结合应用示例进行教学[9]，等等。与此同时，笔者查阅了《离散数学》(左孝凌等著)、《离散数学教程》(耿素云等著)、《离散数学导论》(徐洁磐著)等25本国内出版的离散数学教材，内容都未提及相关数学家和计算机专家的数学历史背景。

笔者认为，将数学文化融入到离散数学教学的路还很漫长，原因是，许多一线教师和专家学者对数学文化并不重视，甚至没有想过把数学文化融入到离散数学教学中去；另一个原因是，大多数一线教师对数学文化并不了解，或者了解甚少，当然也无法将数学文化融入到离散数学教学中去。

2.2融入的前提——提高教师的数学文化素养

数学文化不仅仅包含一串串抽象的数学概念和定理，还包括伟大的数学思想和方法，数学问题及其形成与发展，数学家进行艰苦创作的过程以及数学家的故事，等等。因此，教师在离散数学教学中贯穿数学文化，自己必须拥有扎实的数学功底，而且要掌握诸如数理逻辑、集合论、图论、代数学等相关数学领域的发展史和思想史，以及其他数学领域丰富的数学文化知识，只有在此基础上，才能在离散数学教学中，根据讲解的概念、方法、结论和定理，随时渗透数学史和数学文化的内容。所以，教师要在平时工作和学习中，厚积薄发，通过不断积累相关数学文化知识，不断提高自身的数学文化素养，才能在离散数学教学中随心所欲地插入相关数学文化知识，做到得心应手。

2.3融入的方式——课堂教学

在课堂教学中可以采用多种方式融入数学文化，提高学生学习的兴趣和学习效率。

2.3.1讲解数学概念时融入数学文化

离散数学中概念极多，如何讲好概念是离散数学教学成功的关键之一。我们在教学中结合数学文化和数学史，强化数学概念的相关历史背景，适时地将概念的来龙去脉展示给学生，使他们从中受到启发，理解更加深刻。

例如，函数是一个非常重要的概念，如何让学生掌握函数的本质，我们结合函数概念的产生发展历史向学生介绍函数的概念。首先，介绍函数概念的发展历史[10]；其次，将函数的这些定义进行分类总结，可以大概分为变量说、对应说、关系说三种类型；第三，将这些概念与教材[1]147—155中函数的概念和关系的概念进行对比。通过这样一堂课，学生不仅对整个函数概念的发展历史有了一个全面的认识，也对初高中及大学数学课程中涉及函数的相关知识有了一个深刻的理解和掌握。

再如，“树”的概念是图论的基本概念之一，它不仅对学生继续学习图论的相关理论知识十分重要，而且在实现二叉搜索树、决策树、排序等相关算法过程中也起着重要的作用。因此，帮助学生深刻理解树的概念显得十分重要。事实上，“树”的例子非常多，而我们在教学中列举的关于贝努利家族中数学家 [11]的一个例子(见图1)，不仅从数学文化历史背景方面给学生一个冲击，而且使得学生通过了解贝努利家族中众多数学家，从而牢牢地记住并彻底地理解了“树”的概念。

2.3.2讲解数学命题时融入数学文化

数学问题是数学的心脏，是数学发展的动力，因此整个数学发展史实际上就是解决问题的历史。因此，如何将离散数学中涉及的相关问题的产生、发展、解决的历史与教学结合起来，是特别值得探索的。

比如，图论部分的概念和结论繁多，学生稍有不慎就会出错，因此，如果按照图论的基本概念和结论，抽象地进行讲解，学生不但毫无兴趣，而且极其容易出错。但是，图论中有名的数学问题很多，如哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题、四色猜想等，都可以用来作为数学文化的内容融入到教学中去，学生对相关的概念和结论理解就会更加非常深刻。

再如，“五次及五次以上方程根式解”问题是数学历史上一个非常有名的问题[12]，离散数学代数系统中的群论内容就是随着该问题解决而诞生的。而群论内容一直都是教师教学中最为头痛的内容之一，同时大部分学生面对这些内容时也表现得力不从心，并对教师的讲解表示不知所云，甚至出现抵触这部分内容的情况，然而该部分内容却又在计算机科学中有着广泛的应用。为此，我们在教学中把“五次及五次以上方程根式解”问题的历史发展与群论及代数系统内容的教学相结合，收到了意想不到的教学效果。

首先从简单的一元一次、二次方程的根式解讲起，然后给出稍微复杂的一元三次、四次方程的根式解，最后提出一元n(n≥5)次方程是否存在根式解问题。学生对此非常感兴趣。面对学生的热情，我们首先介绍了挪威天才数学家阿贝尔(N.H.Abel，1802—1829)证明五次及五次以上方程根式解不存在的工作，以及阿贝尔虽然贫困但对数学锲而不舍地追求的人生经历。就在学生不时感叹时，我们马上提出了一个新的问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解呢？当我们介绍到这个问题被死时不到21岁的极具传奇色彩的法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois，1811—1832)所解决时，所有学生都惊呆了，并一致表示愿意了解这位数学家所作的工作。为了帮助学生了解，我们以四次方程x4+px2+q=0为例，向学生简单地介绍了置换以及置换乘积等概念，而四次方程的四个根共有24个可能的置换，它们构成一个集合，这个集合连同置换乘积就构成了一个代数系统，这就是伽罗瓦给出的历史上第一个“群”的定义。而伽罗瓦进一步考虑了这24个置换中的8个特殊的置换，它们也构成了一个“群”即“伽罗瓦群”，伽罗瓦证明了“伽罗瓦群”满足一定条件时，方程才是根式可解的。后来，数学家陆续发现矩阵在乘法下构成群，四元数在加法下构成群，而后又有数学家提出无限变换群，等等。到了19世纪80年代，数学家对这些具体的群进行抽象，从而出现了我们现在教材中让学生接受起来感到非常困难的“群”的概念。在了解了“群”概念产生的历史背景基础上，许多学生表示没有想到这么抽象的概念背后竟有如此丰富的数学文化历史背景，也使得许多学生在学习群及代数系统的相关概念和内容过程中表现得十分积极主动。

当然，其他部分内容也有非常有名的问题可供我们使用，比如，集合论部分的连续统假设问题，自然数集与整数集、有理数集、实数集孰多孰少问题。

2.3.3教学内容融入数学文化

无论数理逻辑和代数系统的内容，还是图论和集合论的知识，大部分内容都是非常抽象的，如何在抽象的内容中融入数学文化，是数学文化融入离散数学教学改革的重中之重，也是教学改革的成败之所在，因此，也是最值得去研究、探讨、设计和实践的。

比如，在讲解基数概念及其相关内容时，我们首先结合两个故事来引导学生理解和掌握基数概念的内涵。第一个故事是[13]，伽利略(Galileo Galilei，1564—1642)在《关于两种新科学的对话》中借用两个人的谈话，谈论到自然数和它的平方数之间可以建立一一对应关系，但明显地是，所有自然数的个数是无限的，平方数的数目是无限的，……平方数的数目既不少于自然数的总数，而后者也不多于前者。第二个故事是希尔伯特旅馆问题[14]。实际上，这两个例子都在说明，在承认实无穷的情况下，若两个无穷集合之间能够建立一一对应关系，则就认为两个无穷集合所含元素个数一样多，并将其元素个数用一个符号来表示，则这个符号就表示这两个无穷集合的基数，当集合是有限集合时，该定义同样适用。然后，将极具传奇色彩的德国著名数学家康托(G.Cantor，1845—1918)的生平事迹和他所做的涉及基数的工作做了一个较为详细地介绍，不仅包括基数概念，还包括可数集合与不可数集合，基数的比较等内容。这些讲解不仅激起了学生强烈的好奇心和求知欲，而且使得学生对康托的工作及取得成就也非常感兴趣。学生正是在为康托的遭遇感到愤愤不平，又为他对数学的执着追求而深受感动的这种氛围中，了解了相关的数学历史背景，也顺利轻松地完成了教学任务。

2.4融入的分寸——融入度问题

“增之一分则太长，减之一分则太短；著粉则太白，施朱则太赤”。如何使用数学文化来为离散数学教学上妆，把握数学文化融入到离散数学教学中去的“度”的问题，实属非易。讲得太少，对学生理解相关内容帮助不大；讲得太过，冲谈了讲课的主题，容易分散学生的注意力，从而不能完成相应的教学任务。

这就需要教师，在把数学文化融入到离散数学教学中时，一定要清醒地认识到，数学文化是一个工具，数学文化的融入在教学中就像做饭添加佐料一样，其目的是让学生在吃离散数学这道大餐时感到更加美味可口。因此教师应该有目的地再现数学历史情景，帮助学生理解和掌握学生的思想和方法，促进学生对所讲授知识的掌握。切记，不可过分渲染，应该自然引出，否则会导致本末倒置，有喧宾夺主之嫌。

3教学效果

笔者在离散数学教学中，坚持将数学文化内容融入到离散数学中去，受到学生的欢迎，取得了非常好的效果。笔者曾对计算机科学技术和网络技术两个方向的两届学生做了一个调查，共有403名学生参加了调查，回收396份调查问卷，结果是387名学生认为穿插数学文化知识对教学效果有积极影响，有300名学生认为介绍的数学文化知识太少，应该加大力度。

参考文献：

[1] 左孝凌,李为鑑,刘永才. 离散数学[M]. 上海:上海科学技术文献出版社,1982.

[2] 徐洁磐. 应用型计算机本科中离散数学课程目标定位与课程改革的探讨[J]. 计算机教育,2010(5):6-9.

[3] 梁吉业,李德玉,吕国英. 服务计算学科的“离散数学”教学方法探讨[J]. 高等理科教育,2009(5):130-132.

[4] 刘冬明. 孔子的教学思想在离散数学中的应用[J]. 计算机教育,2010(6):112-114.

[5] 崔艳荣,陈勇,黄艳娟. 离散数学教学方法与手段探究[J]. 长江大学学报,2009,6(2):373-374.

[6] 徐凤生. “离散数学”课程的教学改革与实践[J]. 高等理科教育,2009(3):44-47.

[7] 廖辉传. 浅谈“离散数学”教学方法与实践[J]. 华东交通大学学报,2006,23(12):149-151.

[8] 文海英,廖瑞华,魏大宽. 离散数学课程教学改革探索与实践[J].计算机教育,2010(6):100-103.

[9] 牛连强,陈欣,邓金鹏. 小议“离散数学"课程中的应用示例与教学[J].高等理科教育,2008(3):35-38.

[10] Dieter Ruthing. 函数概念的一些定义：从Joh. Bernoulli到N.Bourbaki[J].数学译林,1986,5(3):260-263.

[11] E.T.贝尔. 数学大师：从芝诺到庞加莱[M]. 徐源,译.上海:上海科技教育出版社,2004:157-165.

[12] 李文林. 数学史概论[M]. 2版. 北京:高等教育出版社,2002:208-213.

[13] 张顺燕. 数学的源与流[M]. 2版.北京:高等教育出版社,2003:31-33.

[14] G.伽莫夫. 从一到无穷大[M]. 修订版. 暴永宁,译. 北京:科学出版社,2002:14-15.

Research on Infusing Mathematical Culture into Discrete Mathematics Teaching

LIU Weifeng, LIU Lin, WANG Dongxiao, JIANG Ling

(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015, China)

Abstract: Discrete Mathematics is the basis of the compulsory courses to information and computing professionals. In this article, based on analyzing the status that mathematical culture is infused into Discrete Mathematics teaching, we combine the teaching practice of Discrete Mathematics and study how to infuse mathematical culture into the course teaching from premise, method of infusion and degree of infusion.

Key words: Discrete Mathematics; mathematics culture; teaching reform;

(编辑：彭远红)

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