从“被３整除的数的特征”谈开去

关于“被3整除的数的特征”这一内容的课，我听过许多节，也许有的教师认为这一内容很好上，因为无论课上得多么糟糕，最后学生还是会知道，一个数各个数位上的数的和能被3整除，那么这个数一定能被3整除，所以大部分老师会选择这个内容来上公开课，但是，我却从来没有听到过一节我想要的课。即将这一节课的难点重点真正突破了的课。

这一内容的重点难点在哪里呢?我认为是如何让学生知道，看一个数能否被3整除，是看这个数的各个数位上的数的和，从数学知识本身来说，就是到底为什么一个数各个数位上的数的和能被3整除，那么这个数一定能被3整除，这个问题可能许多老师并没有深究过，所以没有多少老师能够突出这节课的数学本质，曾经看到一个才工作两年的老师上这个内容，课堂上，上到这个环节，不论她怎么引导，学生怎么也想不到要看各数位上的数的和，最后她急了，干脆直接告诉学生，这一方面是由于她教学经验不够造成的，但主要原因是她不了解这罩的理论背景，即便是一些有经验的老师，将课上得比较生动，也似乎注意到了这一点，但我总觉得还是差了那么一点点，没有突破那道主要的门槛，就像我们啃一个包子，把外围的熟面吃得干干净净，惟独那个诱惑人的馅还留在那里一样，难受得很，比如下面这个还算好的片段。

生：我们在百数表里圈出了3的倍数。发现一个数的首尾数相加是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：你们能举个例子说一说吗?

生：比如说63，6+3=9,9是3的倍数，63就是3的倍数。

生：我有不同意见，比如说356呢?3+6=9，9是3的倍数，可356除以3有余数，就不是3的倍数。

生：只有两位数的时候，首尾相加是3的倍数的话就没错啊但三位数、四位数就不好这样相加了。

生：我们组认为应该是各位数加起来是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：咦?老师发现你们的结论涂改过，怎么回事?

生：我们小组开始认为个位、十位加起来是3的倍数，这个数就是3的倍数，刚才听了他们的发言，我们想到如果是三位数、四位数的话，就要把各个数位上的数都加起来，所以把个位、十位改成了各位数。

师：你们能从别人的发言中受到启发，值得大家学习那这个结论是否正确呢?请同学们想办法验证一下。

学生验证

师：通过验证，你们有什么结论?

生：各位数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；各位数的和不是3的倍数。这个数就不是3的倍数。

师：你的归纳很精彩，下面再请用实验研究方法的同学来汇报。

生：(出示下表)我们发现：当珠子的颗数是3的倍数时，拨出的这个数就是3的倍数。

师：这个结论是否正确呢?我们玩一个游戏来验证老师报数，男生拨珠，看看这个数要用几颗珠子，判断它是不是3的倍数；女生用计算器验证。 师：21、65、96、100、321、912，(报数速度逐步加快)

学生没有动手拔珠就直接口答。

师：老师有些奇怪，有的同学怎么不拨计数器就知道了?

生：珠子的颗数不用拨也能知道，就是把各个数位上的数加起来比如912用了12颗珠子，9+1+2=12，它是3的倍数。

生：把各位上的数加起来是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师小结：刚才我们用多种方法研究了3的倍数的特征，那3的倍数到底有什么特征呢?请你们用自己的话和同桌说一说。

客观地说。这个老师以及这节课都是不错的，这里的结论都是学生自己主动发现的。老师只是作必要的引导和总结，很符合新课改理念，但是，如前面所说，我以为还是没有上到点子上，原因有二：第一，学生并不知道为什么要看各数位上的数之和。只是从有限的几个数观察到有这个特征，老师就指出结论，从数学上说，不符合归纳这一方法的逻辑，就算是学生的知识结构还不能达到理解这个背景的要求，教师也应该渗透它的理论背景，第二，老师自己本身也不一定清楚为什么，因为课堂上没有见老师有相关的数学本质渗透。

到底为什么一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除呢?这是初等数论里的问题，涉及到整除、同余等内容以及一系列定理，看初等数论方面的书可能晦涩难懂，但是我们仍然可以通俗地表述清楚。

知道了原因，老师就应该在教学中有意渗透这些知识，其实并不难，老师只要在学生得出结论后问一句，“这个结论是不是适应于判断所有的数呢?”相信有了前面的研究过程，学生容易联想到，不管这个数位是多少，总能从中拨开9、99、999、9999……等数，只要考虑每一个数位上的数字就可以了，结论在这个过程中便悄然形成了，虽然有些同学可能还是想不到，也想不通，但是老师的引导和渗透，至少可以让他们意识到应该从哪里下手考虑这个问题，这就足够了。

有必要提一下，搞清楚了这个知识，老师应该再反思和迁移，问一下自己，为什么末尾是0、2、4、6、8的数能被2整除?为什么个位上是0或5的数能被5整除?能被4、8、25整除的数的特征是什么?能被7、11整除的数的特征又是什么?等等，别以为这些平常看起来像约定俗成的知识没有什么可以挖掘的，要是学生问起来，我们的老师们还真不能一下讲清楚。

从上面谈的我们可以意识到，上好一节数学课，最重要的不是教学技能的选择和娴熟与否，而是教学的方向的确定，即这节课到底应该要学生学习什么数学内容，搞清楚了方向这个问题，或者说抓住了这个内容的数学本质，其他的都好办，但是，就目前的情况看，我们的老师们都没有关注这个问题，而是把大量的精力投入到教学技巧上面，比如模仿一些特级教师的情境创设，想一些花哨的但无关痛痒的小点子，等等，这些对学生理解数学知识来说，起不了什么作用，反而误导了学生，这就像南辕北辙这个故事所说的一样，方向都错了，跑得再快也是没有用的，其实，数学课上得朴实一点好，多一点数学的味道，少一点浮躁和花样，记得特级教师潘小明写过一篇数学教育文章《洋葱拌面》，他把那些放许多肉啊、排骨呀等料的面，比喻成时下热闹非凡的小学数学课堂，而把只有洋葱为料的面比作朴实无华的数学课堂，比较起来，他更喜欢洋葱拌面，我很有感触，想想也是，一碗面条，尽被肉、排骨等占领了，那还叫面吗?

我也觉得。作为数学老师，应该时常钻研一些有价值的、能够提高自身数学素养的数学问题，而不要纠缠于那些陈芝麻烂谷子式的问题，浪费大好时间，比如某论坛上的一些问题：到底有没有无限不循环小数?O是不是自然数?等等，却引起了热烈的讨论，实在是让人感到惊讶。

什么是有价值的问题呢?这里一下子也难说清楚，但我有个通俗的说法，就是能够拔出萝卜带出泥的问题，应该就是对自身有帮助的问题，比如，上面谈到的被3整除的数的特征等问题，又比如为什么在定义质数的时候，要把1除开呢?要搞清楚这个问题，就必须去了解初等数论里非常重要的整数的性质等内容，包括代数基本定理，整除的性质，等等，这样，研究一个问题，带出许多数学知识，在这个过程中，老师自身的专业知识得到提高，这才是我们目前所需要的。

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