面向数学发现与探索的合情推理规则教学
总结成文以期引导数学教师在体验中感悟合情推理的规则及其背后隐含的数学思想，并将合情推理的方法和规则运用于数学教学，成为“讲道理”的数学教师。
《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：推理能力的发展应贯穿整个数学学习过程。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。
数学家是怎样发现数学定理的？他们是否有秘诀？十八世纪著名数学家欧拉告诉我们一个秘诀：数学定理是靠观察得来的。事实上，欧拉自己就是一位善于观察的数学家。十八世纪法国的另一位著名数学家拉普拉斯曾经指出：在数学这门科学里，我们发现规律的主要工具是归纳和类比。归纳和类比是合情推理的主要规则，也是对实验观察的结果进行去粗取精、去伪存真，厘清事实、概括经验的思维方法。小学数学教学中我们经常运用“实验归纳”“观察归纳”等方法来寻找规律。教师在学习和研究数学的过程中，应重视自己的经验，学会观察、归纳和类比等科学方法，掌握数学发现的艺术。笔者主要论述合情推理规则的教学。
一、“特殊到一般”的归纳推理
（一）归纳推理概述
由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。将推理“符号化”，即将具体的对象进行抽象、概括，形成了归纳推理的一般结构形式。用文字表达则是：S1具有（或不具有）性质P;S2具有（或不具有）性质P;……;Sn具有（或不具有）性质P;S1，S2，……，Sn都是S类事物，所以，S类事物都具有（或不具有）性质P。
许多人承认科学上的发现和发明，如物理学中的运动定律、化学中的链霉素、生物学中的遗传规律等都是依靠实验归纳和观察归纳得到的。在小学数学阶段学习的“找规律”，几乎都是运用归纳进行探索和发现的。归纳推理是从特殊到一般的推理。由于事物的普遍性寓于事物的特殊性之中，归纳可以为我们提出猜想提供基础与依据。它是一种重要的思维方法，是发现数学定理的一个重要途径。图2列举了两个推理案例。
但是我们一定要意识到，归纳推理所得的结论并不可靠。例如，我们在一个班级任意抽取4名学生，抽取的第1名学生是男生，第2名学生是男生，第3名学生是男生，第4名学生还是男生，于是我们就下结论：这个班上的学生全是男生。事实上，这个班是有女生的，很显然，归纳推理得到的结论并不可靠。我们也常常把这样的归纳推理称为“不完全归纳推理”。
教师在指导小学生用归纳推理“找规律”时应该告诉学生：发现规律还需要弄清其真伪，可以继续研究一系列的特例，如果有不支持结论的反例，我们就可以否定之前的规律;如该规律在新的特殊情况中仍被证实，结论就变得更加可靠，同时还得渗透给学生知道“更加可靠”不等于“一定可靠”，还需要依靠演绎推理去证明。
（二）归纳推理在小学数学教学中的应用及教学改进
【案例1】长方形的面积公式的“推导”
以下是小学教育专业大三师范生在数学课堂上与学生的一段对话。
师：你会求长方形的面积吗？
生：会呀，用公式呀，长方形的面积=长×宽。
师：为什么长和宽都是长度，“长×宽”就变成面积了呢？
生1：小学阶段学的，怎么推导没有印象了。
生2：长与宽虽然都是长度，但它们的乘积是“积”，应该就是“面积”吧。
生3（尴尬地说）：是哦，为什么是“长×宽”，记得老师让我们记住公式，会求长方形面积就行了。好像教师也没有讲过推导。
笔者后来又听了其他小学教师、实习生教学的“长方形面积的计算”一课，以及师范生“教学设计与实施”课程的模拟讲课。他们大多是“照本宣科”地“推导”出长方形的面积公式。学生真的明白“长×宽”的道理了吗？这样上课又给学生留下了什么？
教师依据教材（如图3），让学生经历从数格子，到借助方格图发现长与每行的方格个数的关系、宽与行数之间的关系，用乘法来计算格子的个数，即得到长方形的面积。随后教师可以依次用若干个单位边长的“小方块”摆出5个不相同的长方形，而从5个不同的长方形面积都是“长×宽”，得到“所有的长方形的面积=长[×]宽”的结论。学生感悟到这恰好是我们找规律最常用的“归纳推理”，从而明白长方形面积公式形成的道理所在。
为了防止学生认为归纳推理就足以保证公式“可靠”，笔者建议小学教师此时再加一句话，“今天我们发现的这个公式到目前为止没出过反例”或者“当我们到中学或大学阶段，还会学习用逻辑推理（必然推理）规则更加严格地证明这一公式”……
【案例2】圆周率的计算
师：圆的周长与直径到底有什么关系呢？这个规律需要同学们自己去发现。现在请同桌二人小组分工，测量一个圆片的直径并计算出该圆片的周长除以直径所得的商，得数保留两位小数，把数据填写在相应的表格（见表1）中。
（学生测量、计算、填表，然后小组汇报）
师：从他们汇报的数据看，同学们发现了什么吗？
生：我们这个小组每个圆的周长也大约是直径的3倍多一些。
师：这就说明圆的周长除以直径的商可能是有规律的。在我们所测量的这些圆中，每一个圆的周长都是它直径的3倍多一些，是一个固定不变的数。
这个探究环节有点流于形式，学生按教师要求充当了一回“操作工”。笔者课后访谈发现，学生对圆周率的认识太肤浅、不深刻。单纯地去观察可能视而不见。观察时，一是要有目标，处处留心;二是要有方法，观察和归纳常常联系在一起。归纳是一种对经验、实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的处理方法，我们要用归纳的方法厘清事实、概括经验，从而形成概念，发现规律。
教师在教学中不妨通过以下语言引导学生继续思考：“我们通过测量不同圆形物品的周长与直径并计算它们的比值来寻找规律，在我们所测量的这些圆中，这些圆是不同的、变化的，圆的周长都是它直径的3倍多一些。如果再换成其他的圆来测量或者计算的话，同学们还会发现，它们的周长还是它们直径的3倍多一些。请用归纳推理的规则概括‘圆周长与直径的关系’。”学生通过测量不同圆形物品的周长与直径并计算它们的比值，发现千变万化的圆的周长与直径的比是一个固定不变的数的规律，体会由具体到抽象、由特殊到一般的归纳方法，感悟归纳思想，积累了探索“变化中的不变”规律的经验，凸显了探索规律的教学价值。
【案例3】小学数学教材中的“哥德巴赫猜想”的文化价值和教育价值
1742年，德国数学家哥德巴赫在观察自然数时，把大量的自然数拆成其他自然数之和，运用归纳推理的方法从一串等式——4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=3+11……概括出一条规律：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
教师在学生阅读课本内容后通过名言启发学生：高斯说，数学是科学的皇后，数论是数学这位皇后头上的皇冠，哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠;牛顿说，没有大胆的猜想，就没有伟大的发现，鼓励学生学会用“归纳”去大胆地猜想，敢于用“归纳”去猜想。
哥德巴赫猜想一定正确吗？我们不知道。哥德巴赫本人无法给予证明，就连大名鼎鼎的欧拉也无法给予证明。两百七十多年来，包括我国著名数学家华罗庚、王元、陈景润在内的世界上的一大批数学家付出了巨大的心血，仍不能证明该猜想的正确性，也不能找出否定它的反例。尽管如此，数学家们在解决这一难题的过程中创造及发现了许多崭新的数学方法和数学理论，这些方法和理论的价值远比哥德巴赫猜想本身要高。形成的新理论推动了数学的发展，甚至推动了科学的发展和社会的进步。教师可以借此鼓励学生不畏难题、敢于探究。
二、“特殊到特殊”的类比推理
（一）类比推理概述
相传有一次鲁班进深山砍树木时，一不小心，脚下一滑，手被一种野草的叶子划破了，渗出血来，他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子两边长着锋利的齿，他用这些密密的小齿在手背上轻轻一划，手背居然被割开了一道口子。他想，要是有这样齿状的工具，不就能很快地锯断树木了吗！于是，他经过多次试验，终于发明了锋利的锯子，大大提高了工效。
笔者认为，鲁班在发明锯子的过程中的思路是这样的：茅草是齿形的、茅草能割破手，需要一种能割断木头的工具，这种工具也可以是齿形的。事实上，这就是一个类比推理的过程。所谓类比推理，就是根据A与B两个或两类对象在某些属性上相同或相似，已知A对象还有另外某种属性，推出B对象也有这种属性的推理，其规则用图表示如图5，用简洁的语言表达是：对象A和对象B类似，因为对象A具有属性d，所以对象B具有属性d。
类比推理是从特殊到特殊的推理。运用类比推理，可以通过对一些类似现象、过程的对比分析，在看似互不关联的偶然信息中发现规律性的必然。但是，类比推理得到的结论有可能是对的，也可能是错的。例如，张老师和王老师都是湖南人，张老师爱吃辣椒，所以王老師也爱吃辣椒。在生活中，两个前提是真的，但也许王老师不爱吃辣椒，我们类比推理出来的这个结论就可能是错的。类比推理的一般步骤如图6。
（二）类比推理在小学数学教学中的应用
在小学数学中，新知识一般是旧知识的延伸或组合，两者之间必有很多共同属性。新旧知识的共同点越多，越容易实现知识的迁移。在教学中，教师要努力揭示新旧知识之间的共同点，尽力创设类比情境，凡是学生能在已学的基础上类推的，尽量引导他们自己类推出应学的新知识。
【案例1】探究圆周率的教学片段——“类比搭桥，问题铺路”
教师在教学“圆周率”一课时，引导学生通过类比“正方形的周长与其边长的比值恒等于4”探究圆周率，教学片段如下。
（媒体演示：在几何画板上作一个动态的正方形，拖动正方形的各个顶点，测量其周长、边长，计算其周长与边长的比值）
师：什么在变？（正方形的大小和位置都发生了变化）什么不变？（正方形的周长与边长的比值没有变化，它恒等于4）正方形千变万化，但它的周长始终是它的边长的4倍，从而得到正方形的周长公式为“正方形的周长=边长×4”。
师：“变化中的不变性”就是规律，找到了这样的规律，就能发现公式、法则、性质;寻找不变量不仅是数学研究的任务，也是科学研究和社会研究的任务;“变化中的不变”也是守恒，守恒是一种美丽，这节课我们也要去发现和欣赏这种数学之美。
师：现在我们的任务是寻求一个计算圆周长的方法。我们应该先研究什么问题？
生：我们要研究圆的周长与直径是否存在这样的倍数关系。这样一来，我们知道直径就可以计算出圆的周长，从而得到圆的周长公式。
【案例2】“新题旧解”
一名小学生向老师请教这样一个问题：妈妈去商店买布，所带的钱刚好能买花布2米或黄布3米，若打算两种布都买同样多的米数，最多能各买几米？老师并没有直接告诉他怎么做，而是要求他比较学过的工程问题：一项工程，甲队单独做要2个月，乙队单独做要3个月，两队合做要几个月？学生发现原题与熟知的工程问题相似，从而求出了原问题的解，也学会了类比推理。
学生在解题过程中，可以找到一道与要解答的题目类似的原型题，通过观察、比较、联想、类比，用原型题的解题方法求解新问题。学生不再有“遇到生人就害怕”的感觉，反而觉得“旧壶装新酒”。教师引导学生类比，有“随风潜入，无声润物”的教学效果。再如，习题“工地运来长度分别为8米和5米的水管共25根，用它们一共铺设了173米长的管道。运来两种水管各多少根？”可以类比为8条腿的“怪兔”和5条腿的“怪鸡”的“鸡兔同笼”问题。“有一个挂钟，每小时敲1次钟，几点钟就敲几下，钟敲7下，6秒钟敲完;钟敲11下，几秒敲完？”可与植树问题进行类比：把钟点数看作是一棵棵的树，把敲的时间看作树距，学生就能求出正确答案。
【案例3】矩形与长方体类比
人类认识的过程是由简单发展到复杂的过程。小学生学习的几何问题基本限制在平面上：先认识点、线，然后是由线段围成的三角形、四边形、正方形、长方形、梯形……在低维成立的理论是否可以推广到高维呢？答案是：有些可以（要促进正迁移），如平面上的勾股定理就可以在立体几何中找到类似的定理;有些不可以（要避免负迁移），如“平面上两直线不平行就相交”在三维空间就不成立了。
在学习了二维的平面图形后，教师可引导学生类比二维平面图形与三维立体图形的性质，进一步明确推理规则，培养学生的推理意识。以矩形与长方体的类比为例。矩形与长方体的几何构造十分相似：矩形每相邻两边互相垂直，长方体每相邻两面互相垂直，矩形可以看作长方体的高为零的特殊情况，长方体则可以看作是矩形沿着与其所在平面垂直的方向连续平移而形成的。几何构造上的相似，使我们推想它们在几何性质上也相似，见表2：
【案例4】圆柱体的体积公式的推导类比于圆的面积公式的推导
教师首先引导学生回忆圆的面积公式的推导：“我们先切，然后再拼一拼。先后把圆分成8等分、16等分……我们所拼得的这些图形越来越近似平行四边形。”“如果我们再切，这样无限地切分下去，所拼得的图形就慢慢地转化成了长方形。转化后长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径。”于是，得出圆的面积公式：S=πr2。
接着，教师引导学生类比上述推导过程推导圆柱体的体积公式——先切，然后再拼一拼，我们所拼得的这些图形越来越近似长方体，如果这样无限地切分下去，所拼得的图形就慢慢转化成长方体了，于是得出圆柱体的体积公式为V=sh。
教师还可以引导学生：“长方体和圆柱体都是柱体，因为长方形的体积=底面积×高，所以圆柱体的体积=底面积×高，这样类比是不是也有些道理呢？”让学生自主思考，培养他们的类比思维。
三、合情推理的误导
在数学的发现和探究过程中，合情推理确实让我们获得很多结论。但是合情推理得出的结论可能是对的，也可能是错的，合情推理可能误导我们，甚至一些数学大师也曾被“骗”。
数学家费马声望极高，他对数论、几何、分析和概率都做过深入的研究，并有不少重大的发现。他曾研究形如Fn=[22][n]+1的数，发现当n=0，1，2，3，4时，有F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537都是质数，于是他归纳推理出一个猜想：一切自然数n，Fn=[22][n]+1都是质数。近百年后，著名数学家欧拉却发现：F5=641×6700417并非质数，费马的猜想是错误的。由此可见，归纳推理的结论不一定正确。
再例如，图7来自美国小学数学课本：先画个圆的外接正方形，然后按图示把正方形转化成圆的外接多边形，认为外接多边形会无限接近圆，于是外接多边形的周长就和圆的周长相等了。结果求得π=4。它非常“类似”刘徽的“割圆术”的逼近方法，为什么有不一样的结果？
在图7中，无论怎么分解，外接多边形的周长是不变的，为圆外接正方形的周长。它不能无限逼近圆的周长，这就是错误的本质所在，它与割圆术有着本质的区别。
类比推理属于合情推理，上面的做法就是一个未恰当使用类比推理的例子，在我们的日常生活中，如果只用类比推理来为结论提供支持，那么这个支持的力度通常会非常弱。类比推理，其实更多时候是起到一个说明的效果，让大家更容易理解我们想表达的结论。我们可以用类比推理来启发自己的思考、向他人通俗易懂地说明自己的想法，但最好不要用类比推理来支持自己的结论，也就是说：类比不是数学证明。我们还要通过演绎推理弄清合情推理得到的猜想的真伪。
寻找数学规律，即数学猜想，是数学研究的一种常用的科学方法，又是數学发展的一种重要的思维方式。引发猜想主要有两种模式：“实验（观察）—归纳—猜想”和“联想—类比—猜想”。教师学习和研究合情推理的规则和思维方法并将其渗透到数学教学之中，对激发学生学习数学的热情，让学生把握数学的本质及其发展规律，提高数学素养，有着重要的意义。
作者简介：李织兰（1967— ），女，汉族，广西百色人，副研究馆员，管理学学士，曾从事小学数学教学，现担任桂林师范高等专科学校师范生教学技能实践教学工作，研究方向：教育管理、数学教育、图书馆学研究。
（责编 刘小瑗）