素数的分布与几个素数猜想浅谈

摘 要：本文通过对比之前传统的寻找素数的方式给出了另外的方式，通过研究合数的性质反过来研究素数的性质，通过两者运行程序的时间对比来寻找更进一步寻找素数或是更快速的寻找某区间内的素数的方法，以及对于大数分解给出了一个独特的见解思路。

关键词：素数 合数 大数分解 素数分布

一、引言

早在欧几里得时期素数就被证明是无穷的，可是尽管几千年来人们一直在研究素数的性质，希望能找到素数的通用表示形式或是发现更大素数的方法，但是一直没有找到。也有人说可能素数的通用表示形式根本不存在！

尽管素数的定义非常简单明了，但是判断一个数是不是素数有时确实很困难。正是因为素数的这个性质，它往往在重要文件的加密方面表现出色。

二、素数分布简史

欧几里得最先证明素数个数的无限性。具体的证明方法是：假设个数是有上限的，但所有的素数乘积+1不能被它们中的任何一个，则又产生了假设之外的素数，所以素数有无穷多个。

18世纪40年代哥德巴赫与当时赫赫有名的数学家欧拉通信并在信中提出了两个问题，经过自己的验证向欧拉提出了两个猜测并寻求证明：（1）N=P+Q（N为不小于6的偶数，P和Q为奇素数）；（2）Z=P+Q+R（Z为不小于9的奇数，P，Q和R为奇素数）.欧拉虽未能证明猜测，却对这两个猜测却持着肯定态度。在1966年，陈景润则证明了哥德巴赫猜想的“1+2”：对于每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与一个小于等于两个素数的乘积之和。值得注意的是因为小于这个常数的奇数并没有完全验证，不过我们认为它是正确的。

因为偶数中只有2是唯一的偶素数，所以我们就只讨论奇素数之间的性质。由奇素数之间的间隔都是偶数可设此间隔为2k。特别地，当k为1时就是孪生素数猜想。

1900年，希尔伯特将孪生素数、黎曼、哥德巴赫猜想一并列入了23个数学问题中的第8问题，并且设置奖金给予证明这些猜想的人。2013年5月14日，《自然》杂志通过在线报道了张益唐证明了关于孪生素数猜想非常重要的一个定理：“存在无穷多个素数对，它们的差小于7000万”。在发表短时间内，陶哲轩等人就已快速掌握了他的方法，并且尝试改進这个参数。从7000万降到了6000万，再到4200万、1300万、50万、42万，截止到目前为止，这个常数已经降到了246。但是这几乎已经是这个方法的极限了，要真正证明孪生素数猜想，可能需要另辟蹊径！

三、素数和合数基本重要性质

1.素数性质。素数的螺旋排列：Ulam等人注意到，当整数按照方螺旋方式排列写出时，由素数所形成的图形和对角线十分吻合，而每一条对角线对应一个特定的含素数丰富的二次多项式。上图的主对角线与Euler的著名多项式相对应。Rabinovitch和陆洪文发现了更一般的事实，这些事实都由类数1的虚或实的二次域决定。例如=13符合要求，故当=1，2，...12时均是素数。

相邻素数之差：数论中的许多问题都与相邻素数的间隔有关，若记，因此有，且其它所有的都是偶数。那么的取值在什么区间？Rankin已经证明：对于无穷多个都成立，他的最好结果是，其中为Euler常数。

2.合数性质。大数的分解一直以来都是非常难以解决的问题，以至于在密码学方面大数的素因数分解是非常有用的。很多经过加密过的信息就算把信息公开你也非常难以破解其中具体的信息，就是因为那个具体的大数太难以分解了。一种对于传统大数分解稍微改进的方法：因为我们用的是十进制的数字，所以当十位（或更高位）和个位（或更低位）的数具有相同的素因子（或者说两个数的约数非1时），我们就知道这个数不是素数；但是与其它方法一样，你必须找完这个数所需要验证的所有整数验证过都不满足条件之后，你才能说它是素数。从此表可以看出，相对于单纯寻找素数的方法所用的时间，寻找合数所用的时间小于寻找素数的时间，尤其是在更大的范围内找寻素数的时候。因此，笔者认为此种方法可以更具效率，而且这个方法还可以更加完善和进步。

四、结语

从上表可以看出，相对于单纯寻找素数的方法所用的时间，寻找合数所用的时间小于寻找素数的时间，尤其是在更大的范围内找寻素数的时候。因此，笔者认为此种方法可以更具效率，而且这个方法还可以更加完善和进步。因此，我们可以继续在这个方面做一些研究以改进和完善此种方法。而且通过上面的例子可以看出，用这种方式寻找合数，需要知道一部分素数。素数和合数在某一范围内之间可以互相渗透，或许我们把合数的性质研究的更为彻底时会发现一些新的素数的性质。

参考文献：

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[5]程晓亮， 丁思敏. 张益唐与孪生素数猜想[J]. 中学生数学， 2014（22）.

[6]曹珍富. 数论中的问题与结果[M]. 哈尔滨工业大学出版社， 1996.

作者简介：周心悦（1993—）女。民族：汉。四川广安人。成都理工大学管理科学学院数学专业硕士研究生在读。主要从事数学理论应用方向。

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