我们要培养学生哪些数学创新思维

晚近以来，数学教师们谈得最多的是培养学生的创新思维，这是大势所趋，然而，我们却总是局限在“联系生活”“创设情境”“主动探究”这些字眼中谈培养学生的创新意识，这似乎没有说到关键，关于创新，有两个最基本的问题必须要搞清楚，一是数学教学中，到底我们要培养学生哪些创新思维；二是我们应该要怎么样培养，以下三个数学史上的著名故事告诉我们，哪些创新思维才是学生真正应该掌握的。

哥德巴赫的信与归纳思维

大家都知道，只要我们拥有自然数的知识，就能够进行下列运算：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，…，别小看这样的简单加法，你如果具有良好的归纳思维，就会发现，3，5，7，11，13，…都是奇素数，而6，8，10，12，14，16，…都是偶数，从而归纳假设：是否两个奇素数之和都是偶数呢?就是这样一个非常简单的归纳，却震惊了世界。

1742年6月7日，数学家哥德巴赫给数学家欧拉写了一封信，信中提出了一个命题，他写道：“我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和，这样，(通过归纳)我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和，但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验，”欧拉回信说：“这个命题看来是正确的，”但是他也给不出严格的证明，这个命题，后来整理成为了著名的哥德巴赫猜想，这一猜想历经200多年至今仍悬而未决，但对此猜想的证明过程，极大地推动了解析数论的发展(特别是筛法，圆法)。

哥德巴赫猜想体现了归纳思维的重要性，归纳是在通过多种手段(观察、试验、分析、计算……)对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理，或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维，归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法，著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的，”著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法……牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。”

从数学的发展可以看出，许多数学概念、定理、法则……的形成，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算……然后归纳出其共性和本质的东西。

费马大定理与类比思维

在中学，我们都会接触到平面几何中最著名的定理——毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和，即：x²+y²=z²，众所周知，其最简单的正整数解是3，4，5，这是个漂亮的几何问题，但到了法国律师费马那里，却成了代数问题，费马根据x²+y²=z²。有正整数解，类比提出问题：对于x³+y³=z³，x⁴+y⁴=z⁴来说，有没有正整数解呢?进一步，对于x²+y²=z²(n≥13)来说，有没有正整数解呢?费马给出的答案是否定的，并且他在丢番图的《算术》一书的空白页写下了这样激动世人的话：“我已经发现了一个绝妙的证明，但因为空白太小，写不下整个证明。”

这个定理，就是闻名于世的费马大定理，虽然费马宣称他已找到一个绝妙的证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明，证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖，以及2005年度邵逸夫奖的数学奖，费马大定理也被人们称为“下金蛋的鹅”，意思是说由此产生了许多新的数学分支。

类比是根据两个(或多个)对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其他方面也可能相似的推理，简单地说，类比就是由此去发现彼(或由彼去发现此)，类比为人类思维过程提供了更广阔的自由创造的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。

著名天文学、数学家开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然的奥秘，”著名数学家、教育学家波利亚说：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题，”实践也证明：在学习过程中，将新内容与自己已经熟悉的知识进行类比，不但易于接受、理解，更重要的是培养、锻炼了自己的类比思维，有利于开发自己的创造力。

罗巴切夫斯基的逆向思维

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，文字叙述显得冗长，也不那么显而易见。

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到第五公设，而且以后再也没有使用，也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的、争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走得不对，第五公设到底能不能被证明?

到了19世纪20年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，利用逆向思维，提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理，他认为，如果以这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设，他在极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题，最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论，这个理论像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何，从此，非欧几何诞生了。

非欧几何的诞生告诉我们，顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决；原命题研究过后，研究逆命题；探讨可能性发生困难时，考虑探讨不可能性，它有利于克服思维定势的保守性，对解放思想、开阔思路、发现新生事物、开辟新的方向，往往能起到积极作用。

当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维，逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式，敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象，人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法，其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，因此，逆向思维的结果常常会令人大吃一惊，喜出望外，别有所得。

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