康托与集合论的创立
摘 要： 乔治·康托——超穷集合论的创立者，是数学史上最富想象力和创造力的数学家之一。因为他发明的超穷数理论从根本上背离了当时数学中关于超穷数使用和解释的传统，从而引起了当时学术界的激烈争论乃至严厉谴责，为了集合论的创立他耗尽了毕生心血。集合论的创立在数学史上具有划时代的意义，它是现代数学诞生的标志，是现代数学的基础。
关键词：康托 集合论 公理系统 悖论
一、康托的生平及主要贡献
乔治·康托（Cantor Geory,1845.3.3—1918.1.6），德国数学家，集合论的创始人。1876年以解决一般整系数方程的求解问题获柏林大学哲学博士学位，毕业后又受维尔斯特拉斯（K·weierstress）的直接影响，由数论转向严格分析理论的研究。自1869年起任哈莱大学讲师，1872年任副教授，1879年任教授。担任过柏林数学会主席（1864—1865），还组建了德国数学协会并任第一任会长（1890—1893）。
集合论的创立是数学史上的重大事件，也是康托对数学的主要贡献，他最重要的著作是《超限数理论基础》。康托的工作给数学的发展带来了一场革命，他的理论超越直观，解决了许多悬而未决的问题，但同时也颠倒了许多前人的想法。它一问世，便遭到了一些同时代学者的反对和嘲笑，有人指责他“信口开河”、“神经质”等等；有人嘲笑集合论是一种疾病，叫嚷“要从疾病中恢复过来”。在围攻康托的人中，最严厉、最激烈的要数柏林的数学权威克罗内克（L.Kronecker）,此人对康托的集合论特别是超限数理论持根本否定态度，认为只有他研究的代数数才是最可靠的。著名数学家克莱因（Klein）、法国大数学家庞加莱（Poincare）也对康托的观点持否定态度。在种种非难和攻击面前，康托精神受到严重压抑，常常陷入高度紧张和用脑过度的状况。1884年，他患了深度精神抑郁症，1887年才恢复工作，他的晚年是在病痛折磨中度过的。1918年1月6日，这位伟大的数学家因精神分裂症在一家精神病院里与世长辞。
随着时间的推移，康托的创造终于得到了历史的公正评价，许多数学家深为这一理论的作用而感动。数学家希尔伯特（D.Hilbort）称之为“数学家的乐园”、“数学思想最惊人的产物”，英国数学家罗素（B.Russel）将它誉为“这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。集合论在本世纪已逐步渗透到各个数学分支，成为分析理论、测度理论及数理科学中必不可少的工具。在数学研究日益深入展开的今天，集合论愈来愈显示其重要作用，对数学研究产生了巨大的、深远的影响。
二、集合论产生的背景及其创立
1811年，法国数学家傅立叶（Fourier）发表了他的《关于热传导问题研究》的论文，文中应用将函数展为三角级数的方法一举解决了当时物理界提出的热传导的大课题。由于将任意函数展为三角级数的概念和方法具有巨大的理论意义和实用价值，因此被认为是数学史上“最辉煌的成就之一”。
康托正是从研究把函数表达为三角级数的唯一性的判别问题而提出集合论的。把函数展为傅立叶级数的收敛性，以及密切相关的分析基础严密化的研究，都归结到建立实数理论问题，这需要彻底弄清实数的结构和性质，包括对数系的理解和数集概念的建立等。
早在1870年、1871年和1872年，康托先后三次发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理。为了描述某种无穷集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等重要概念——这是从间断点这一特殊问题的探讨转向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。
1874年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑。”他还指出，如果一个集合能和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念：两个集合只有当它们的元素之间可以建立一一对应时才称为是等价的，这样就第一次对各种无穷集合按他们元素的“多少”进行了分类。他还引进了可列的概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合称为可列集合。在他发表的第一篇关于集合论的文章中，证明了有理数集是可列的，使数学界感到惊讶，更为惊人的是他还证明了所有代数数构成的集合也是可列的。关于实数集合是否可列的问题，康托1873年在给戴特金（R .Dedekind）的信中提出过，但不久他自己得到了解答：实数集合是不可列的。通过这些证明，他建立起被称为“康托公理”的实数连续性公理，同年他又构造了实变函数论中著名的“康托三分集”，给出测度为零的不可列集的一个例子。由于实数集是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了一定有超越数存在的结论，而且超越数大大多于代数数，他的这一成果在当时的数学界引起了极大的轰动。
康托在1874年的第一篇关于集合论的论文中还证明了无穷集之间的差别，那就是既存在可列的无穷集，也存在像实数集那样不可列的无穷集。他引进了集合的势（也称基数）的概念，随后又对这一概念进行了深入的研究，引进了基数与序数理论，他还极富创建性地提出了超限基数和超限序数。他从1879年到1884年在《数学年鉴》上以《关于无穷的线性点集》为题发表了一系列文章，论述无穷数（或超穷数）理论。尤其是1895年和1897年在《数学年鉴》上发表的两篇具有决定意义的文章进一步阐述了无穷的特性，对无穷集合引进了新的基数。他给基数的和、积、幂下了定义，并指出他的关于基数的理论适合于有限集合。至于序数的概念，早在他引进一个已知集合的逐次导集时就感到有必要了，他定义了全序集及序数的和、积、相等与不相等等概念。1883年他在《数学年鉴》上发表的文章中定义了良序集的概念，并讨论了基数上序数的级别。
由康托首创的具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，他从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程。
三、集合论的发展与完善
同其它新生事物一样，康托的理论并不是完美无缺的：一方面，康托对连续统假设是否成立及非良序集的基数如何比较等问题始终束手无策；另一方面，更重要的是后来发现了所谓的布拉利-福蒂（Buraly-Forti）和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了怀疑。
1903年，数学家罗素在他出版的《数学原理》一书中提出了著名的罗素悖论。在给出悖论之前，他先讲了一个生动的“理发师悖论”：一个理发师约定，只为那些“自己不给自己刮脸的人”刮脸，而不为那些“自己给自己刮脸的人”刮脸。那么，他给不给自己刮脸呢？若他给自己刮脸，那他是“自己给自己刮脸的人”，显然违反了自己的约定；若他不给自己刮脸，那他是“自己不给自己刮脸的人”，显然也违反了自己的约定，于是理发师陷入了矛盾之中。
罗素悖论实质上同理发师悖论差不多，他构造了一个集合T={x|x?魵T},由康托集合概括原则，T是一个集合，是一切不以自身为元素的集合为元素所构成的集合。那么，T是否属于T？若TIT，由T的构造知，T?魵T；若T?魵T，由T的构造有TIT，因此无论如何都会导致矛盾。
这个矛盾是如此简单明了，用的概念是如此基本，因此罗素悖论的提出在数学界产生了极大的震动。数学家们感到数学的基础动摇了，数学的大厦将要倒塌！怎么办？这些成了摆在二十世纪初数学家面前必须解决的问题(这就是历史上著名的第三次数学危机)！
经过研究，数学家们认识到解决矛盾的有效途径是对集合论进行公理化处理。其基本思想是：把康托关于集合的广义条件分为两类，一类为合法条件，它们刻画了集合最基本的性质、特征，是构成集合的必要条件；另一类为不合法条件，他导致集合论悖论的产生。然后采用公理的形式保留合法条件，排除不合法条件。
德国数学家策梅罗(Ｅ.Zermelo)于1908年提出了集合论的第一个公理系统。他从“集合”、“属于”两个基本概念出发，引入了八条公理：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理(上述五条公理实质上都是康托集合论中已有的，由这些公理出发，几乎可以推出康托集合论中所有有限集，但得不到无限集)、无穷集公理、子集公理和选择公理。
但策梅罗公理仍然存在缺陷，后来又出现了“异常集”悖论。1925年数学家冯·诺伊曼John Von Neumann引入第九条基底公理。同年，数学家弗兰克尔(Abraham A·fraenkel)针对含义较模糊的子集公理提出了第十条置换公理，使策梅罗公理系统进一步完善。
至此，由“集合”、“属于”两个原始概念和上述十条公理就组成了一个完整的集合论公理系统，即ZF公理系统。ZF系统完全克服了之前所出现的各种悖论，足够作为经典数学分析所需要的逻辑基础。但ZF系统反对者从选择公理出发又推出了“怪球问题”等一系列悖论，ZF系统是否相容的问题至今尚未解决。
除开ZF系统外，冯·诺伊曼从1925年开始建立以“类”和“真类”的概念区别集合的另一公理系统；1945年数学家贝尔奈斯(P.Bernays)建立了一个公理化集合系统，称为GB系统；法国著名的布尔巴基(N·Bourbaki)学派也提出了另一公理系统，用希尔伯特ε-算子来取代与之等价的选择公理，等等。
上述公理系统通称为公理集合论，与之相对应，人们把康托的传统集合论称为经典集合论或朴素集合论。
在此后的发展中，数学家们关于集合论的各个公理系统的相容性和独立性的研究、关于连续统假设的研究、关于超穷基数的深入研究等等不断丰富和发展了集合论，不断地开拓了集合论的应用范围，同时也不断深化了人们关于数学内在统一性、关于数学其理性的认识，并且随着其它数学分支(如拓扑学、组合学、模糊数学等)的发展，一些新的边缘学科“集论拓扑”、“组合集论”、“模糊集论”等等也不断出现，集合论这支数学园地上的奇葩正日益放射出新的夺目光彩！
四、 康托的个性及哲学思想
康托在他的《超穷数论的奠基性贡献》中用了一段名言作为开篇引言：“我们决不按自己的意图把法则强加于理智或事物，而是如忠实的抄写员那样，从自然的启示中接受这些法则并把他们记录下来。”这段话十分恰当地反映了康托在数学哲学上的基本立场：思维的法则和数学的定律并不属于任意的虚构，而是固有的而且可以认识的。
集合论诞生是充满艰辛的，他是康托惨淡经营终生的产物。在那对集合论充满排斥和敌意的环境里，康托为捍卫他自己所创造的超限数和集合论进行了长期的战斗，数学无穷的革命几乎是由他一人完成的。他对自己的理论充满自信，坚信时间会证明一切。但康托的斗争并不是很彻底的，在某些方面也表现出对唯心主义和宗教的调和，而这些又都是与康托独特的个性与哲学思想中深刻的宗教根源有直接的联系的。
康托在超常沉重的精神压力下，饱受了精神病的折磨。他一生笃信宗教，至死都把自己当作上帝的使者，上帝是他力量的源泉，也是他理论必然性的最终保证。正是这种不可动摇的信念给了他面对数学史上前所未有的激烈风暴的勇气，去坚定地捍卫他的超穷集合论，使其在充满怀疑和排斥的气氛中得以生存，并最终使超穷集合论成为二十世纪科学思想史上最富生命力的伟大创举。
参考文献：
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［2］李心灿，黄汉平.数坛英豪.科学普及出版社，1989.
［3］梁宗巨.数学家传略辞典.山东教育出版社，1989.
［4］［美］M·克莱因著.北大数学系数学翻译组译.《古今数学思想》 第四册.上海科技出版社.