k阶几何分布数学期望的新算法
摘 要 近15年来，各种k阶离散分布被引入，分布间的相互关系被研究，在此提出利用条件数学期望的相关理论计算出关于k阶几何分布的数学期望的新算法。
关键词 Bernoulli试验；游程；发生函数；k 阶几何分布
中图分类号 O22 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2011)101-0216-0
k阶离散分布是普通分布的一个极其有趣的推广，除了工程系统以外，近来已经成功地应用于许多领域，如：假设检验、起动验证检验、DNA的数据分析、心理学、生态学和射电天文学。而k阶几何分布是k阶离散分布中重要的分布之一。此问题最早被De Moivre提出。
Philippou et al.（1983）重新研究了这一问题，并称这一分布为k阶几何分布Gk（p）。他们给出了Gk（p）的概率函数：
k 阶几何分布的数学期望即指直到连续k个成功首次出现时所需要的平均试验次数。
1 定义
设有一个独立贝努利试验序列{Zi}，且P（Zi=l）=P，P（Zi=0）=q=
1-p，（i=1，2，…），那么直到连续k个成功首次出现的试验次数服从的分布即为k阶几何分布Gk（p）。显然，当k=1时，其是几何分布
G（p）。Feller（1968）把这一问题作为更新理论的一个应用，给出了其概率母函数为：
2 主要结果
我们知道概率母函数φ（t）=E（t X），则φ"（t）=E（Xt X-1），令t=1，我们便得到了E（X）。利用Feller的结论，将
对t求导再令t=1，我们便得到了。此式即为k阶几何分布
的数学期望。另外，除了上述方法之外，通过游程的一个概率母函数也可以求出来。游程是在一个有限取值的序列中，满足一定条件的同一符号的一个连串。一个游程中同一符号出现的次数称为游程的长度。
设成功的概率为p，ξ为n重贝努利试验中成功的最长游程的长度，利用组合数学的知识可知最长游程的概率母函数为：
因此k阶几何分布的概率母函数为：
同理，对t求导再令t=1即可。
不管上述哪两种方法都需要用到k阶几何分布的概率母函数。计算起来比较麻烦，下面我们给出条件数学期望的解法，相比之下要简单许多。让我们以E（X|Y）记随机变量Y的这样的函数，它在Y=y处取的值是E（X|Y=y）。注意E（X|Y）本身是一个随机变量。条件期望的一个极为重要的性质是对于所有的随机变量X和Y有：
E（X）=E [E（X|Y）]
如果Y是离散随机变量，那么该方程说明：
如果Y是密度为fY（y）的连续随机变量，那么该方程说明：
我们以Nk记为了得到k次相继的成功必须试验的次数，并以Mk记为它的均值，则：
现在
由条件数学期望的性质，得：
由于N1是服从参数为p的几何分布随机变量，我们看到，并
且递推有：
3 结束语
比较1968年的Feller利用随机过程的更新理论推导出k阶几何分布的概率母函数在求其期望的方法还是后来的方法，可以看出条件数学期望的解法要简便很多，条件数学期望在现实生活中具有很多作用。尤其是在预测方面。早期，条件数学期望主要用于人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性。现在，条件数学期望的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险中。用来解决更多的实际问题。
参考文献
[1]韩清.游程的分布理论.应用概率统计[J].1999.5(15):199-212.
[2]Feller W.An introduction to probability theory and itapplications[M].NewYork.Wiley,1968.
[3]段洪玲,徐晨.于游程的一個发生函数的研究[J].沈阳理工学报,2008,3:92-94.
[4]Philippou AN,Georghiou C,Philippou GN.A generalized geo- metric distribution and some of its properties[J].Statist.Probab.Lett.1983,(1):171-175.
[5]美Richard A. Brualdi著.冯舜玺罗平裴伟东译.组合数学[M].机械工业出版社,2001,11:76-95,123-158.
作者简介
段洪玲（1977—），女，汉族，籍贯：辽宁沈阳，应用数学，硕士，讲师，工作单位：沈阳理工大学，研究方向：概率与数理统计。