组合数表的奥秘以及组合数的循序逐增规律

学习与研究》2011年第17期）一文中得出的一个结论.经深入研究，笔者发现了组合数学（确切地说组合数）更多的循序逐增规律.本文将这些发现记录下来，有请老师指教.

一、循序逐增的组合数表

组合数表是依照循序逐增原理，循着Cmn的n、 m“+1”的逐增规律，将组合数有序记录下来而形成的一个表.如图1所示.

对该表做分析，可发现其所隐藏的奥秘和规律.

图1 组合数表

二、组合数表的奥秘

奥秘1 横看成岭侧成峰，横竖斜列规律异有同

认真细看组合数表的数字，不论是横看还是竖看、斜看，都是一串有规律的循序逐增的组合数.横看，是n不变， m依序“+1”逐增的组合数；竖看，是m不变，n依序“+1”逐增的组合数；斜看（左上角至右下角），是n， m同依序“+1”逐增的组合数.此奥秘又藏着若干规律.

图2 帕斯卡三角奥秘2 从组合数表中看出，在n不变（即n相同）的条件下，最大的组合数，既不是最大的m的组合数，也不是最小的m的组合数，而是处于中间的m（即中轴线框内）的组合数，组合数与m既不存在正比关系，也不存在反比关系.

奥秘3 组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工.

只要将图1向右倾斜45度，就会发现图1的数字与杨辉三角（见图2，也称帕斯卡三角）完全相同.这表明，杨辉三角（帕斯卡三角）的每一个数字都是Cmn的组合数.由此可见，组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工.

三、杨辉三角（帕斯卡三角）已知的规律

规律1 三角形中的每一行数字表示的是二项式的整系数（a+b）的特定次幂.见图3.

规律2 三角形中的每一行数字相加之和，从第二行起，是2的次幂之积.见图4.

图 3 图 4

规律3 三角形中，每条斜线所经过的数字相加之和均为斐波纳契数.见图5.

图 5

四、组合数表中反映出来的组合数循序逐增的规律

规律1 横列组合数的规律之一

Cmn+Cm+1n=Cm+1n+1 （ 式中n≥m+1）.

例证1C23+C2+13=C23+C33=C34=3+1=4.

例证2C24+C2+14=C24+C34=C35=6+4=10.

例证3C25+C2+15=C25+C35=C36=10+10=20.

例证4C26+C2+16=C26+C36=C37=15+20=35.

依照归纳法，可把这一规律的定理表为：

Cmn+Cm+1n=Cm+1n+1 （式中n≥m+1）.

规律2 横列组合数的规律之二

如 m1+m2= n，则Cm1n =Cm2n，亦即Cmn=Cn-mn （ 式中n≥m）.

将图1中加粗的线框内的数字作为中轴线，可清楚看到，中轴线两边相对应的组合数是等同的.即在n相同的同一行组合数中，在相对应的位置可找到两个相同的组合数，且此两个相同的组合数的Cmn等式的两个m相加之和正好等于n.

例如Cm7的组合数.

已知n=7，Cm7的组合等式有8个，组合数相同的等式有4对：

C37=C47 m1=3 m2=4 m1+m2=3+4=7C37=35C47=35 可见C37=C47.

C27=C57 m1=2 m2=5 m1+m2=2+5=7C27=21C57=21 可见C27=C57.

C17=C67 m1=1 m2=6 m1+m2=1+6=7C17=7C67=7 可见C17=C67.

C07=C77 m1=0 m2=7 m1+m2=0+7=7C07=1C77=1 可见C07=C77.

又例如Cm8的组合数.

已知n=8，Cm8的组合等式有9个，组合数相同的等式有4对：

C38=C58 m1=3 m2=5 m1+m2=3+5=8C38=56C58=56 可见C38=C58.

C28=C68 m1=2 m2=6 m1+m2=2+6=8C28=28C68=28 可见C28=C68.

C18=C78 m1=1 m2=7 m1+m2=1+7=8C18=8C78=8 可见C18=C78.

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