浅谈数学习题的选择策略和功能

数学习题教学是培养学生基本能力、提高学生独立分析问题和解决问题能力以及创造能力的主要途径。此外，通过学生分析问题、解决问题的练习，还可以加深巩固所学的基础知识，启发学生积极思考，提高学生学习数学的兴趣。为了提高数学习题教学质量，在中学数学教学内容中必须有目的、有计划地配备各种各样的数学习题。因此，有必要研究各种类型习题的特点及其在教学中所起的作用，以便在教学中选择适宜的习题给学生练习，从而提高数学习题的教学质量。

一、数学习题的定义

以数学为内容、或不以数学为内容但必须运用数学知识或数学思想方法才能解决的习题称为数学习题，它包括教师提出的问题、例题、练习、测试及课外的演练、实际生活中的调查和探索等多种形式。但在本文讨论中，涉及的数学习题主要是教师提出的问题、例题、练习三种形式。

二、数学习题的选择原则

针对不同的背景和用途，数学习题集的选配原则有其差别。从有利于落实素质教育，培养学生的分析、推理、概括、判断等数学能力的角度，数学习题的选配应遵循以下两个原则：

（一）启发性原则

心理学家提出，创设情景，激起学生的学习动机和热情，引导学生主动思考是学习成败的关键。现代教学论强调“以教师为主导，学生为主体”，即要千方百计地让学生主动地学习。因此，数学习题的选配首先要遵循启发性原则。根据不同的知识背景和教学过程。启发性又表现在以下几个方面：

1.激发兴趣

主要体现在对学生心理上创设一种愉悦、欢快的心境，使学生的欲望异常强烈，呈现一种跃跃欲试的心态。如《立几》开篇，给出以下几个问题：

（1）三刀最多可把一块豆腐切成几块？

（2）给你六根火柴棒，你能摆出几个正三角形？

学生的思维会立即转入空间想象，将学生兴奋的情绪带入学习状态。

2.设置疑问

数学习题的恰当选择非常好地提供了“介绍新知识，实现新旧知识同化”的一条途径。即通过设置新问题。引导学生共同探讨新的途径，学习新的知识。

在“棱柱侧面展开图的探索”课题教学中，每个学生都准备了各种矩形纸片、平行四边形纸片，课上提出两个问题让学生动手实践探索：

问题1：棱柱的侧面展开图是什么？你能用已有的纸片围成一个棱柱的侧面吗？

问题2：给你一个长宽分别为a、b的矩形纸片，能否围成一个底面是等边三角形、两个侧面是含全等平行四边形的斜三棱柱侧面？（投影）

对问题1，学生通过动手折叠，排除了平行四边形是斜三棱柱的侧面展开图，对棱柱的侧面展开图有了初步的了解，但对斜三棱柱的侧面展开图究竟是什么还不知道，经学生广泛的动手、动脑和交流活动后，好多学生提出了将一个由塑料片做成的斜三棱柱的模型打开，认识斜三棱柱侧面展开图（图2）．

3.妙于“凸知”

很多数学知识的背景存在于简单的问题情境中。合理组合数学习题，将问题结论暴露给学生，往往学生在教师的讲解中便能自悟出一般化的结论，从而达到由“量”到“质”的思维上的跳跃，并且有利于培养教育学生的创新意识。

在讲解数列求和基本方法时，就要探求分组求和法、裂项相消法、错位相减法，因此笔者就选取了以下两道题：

（1）已知数列{an}是等差数列，{bn}等比数列，且a1=b1=1，a3+b2=8，a3-b2=2。

①求数列{an}、{bn}的通项公式；

②设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和sn。

（2）数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12。

①求数列{an}的通项公式；

②令bn=an·n，求数列{bn}的前n项和。

4.铺垫跳跃

对学生而言，数学习题的难易程度，关键是铺垫这个环节是否到位、准确。因此，数学习题设计得好，就可以让学生实现新与旧、难与易、繁与简、小与大的转化。突破思维的特点。

如，在第三章第3节“等差数列的前n项和的探究”。笔者逐步提出了下列问题组：

（1）计算：1+2+3+…+100。高斯是怎样计算的？

（2）从高斯的算法中，你受到了什么启发？怎样求1+2+3+…+n的和？

（3）你能将高斯的算法推广到求一般等差数列的前n项和吗？用符号表述你的想法。

（4）利用1+2+3+…+n的结论，你能求出a1+a2+a3+…+an吗？

更多的情形下，课堂教学中数学习题的“铺垫”作用，是用来实现让学生自主完成由“易”到“难”的推理过渡，掌握解题的一般规律和方法，培养学生独立分析、判断、解决问题的能力。真正意义上做到“教师不讲或少讲”。

（二）巩固性原则

按照教育心理学的观点，人的认知结构的主要体现新旧知识的“同化”和“顺应”。新知识输入认知结构以后，并不是原封不动地贮存起来，一方面，“要进一步加工整理，使新知识获得意义并组成新的认知结构，即使在知识的保持阶段，同化过程还在继续”；另一方面，在这个过程中，一部分知识在转化为新知识保持的同时，还有一部分新知识将会被遗忘。因此，数学课堂教学中合理选配数学学习题能起到巩固的作用，从而达到转化新知、深化理解、反馈问题、减少遗忘。“巩固性原则”的体现过程通常是：

1.“纳新”构系

一个新的概念、定理及其它知识点形成之后，如何有效地纳入原有知识，并顺利实现新旧知识的“同化”，并能合理地运用于实际问题的解决，这个过程就是“纳新”。

高中数学中有很多的概念、性质、定理等，如在圆锥曲线的教学中，针对椭圆的定义，标准方程，性质的重要性和学生掌握运用它的困难性，笔者编选了以下习题：

（1）已知两定点A（-1，0）、B（1，0），点M满足|MA|+|MB=2，则点M的轨迹是（）。

A.圆B.椭圆C.线段D.直线

（2）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2过点作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）。

A.（）-2B.（）-1C.2-2D.2-1

（3）中心在原点，焦点在X轴上的椭圆，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆方程是 。

2.“深化”夯基

学生对数学知识的理解首先往往浅层次的，这就需要通过数学习题的变换及解决，加深学生对知识的理解、掌握程度。

如在讲解三角函数的最值问题时，笔者在选题上注意了前后互相联系、循序渐进，后面的问题可以通过数学变换转化成前面的问题解决，渗透“转化”的数学思想，培养学生化新为旧、化繁为简、化难为易的能力；在问题的解决方法上，挖掘三角函数式（代数式）的几何特征，沟通代数与几何的联系，渗透“数形结合”的数学思想，培养学生综合解决问题的能力。

与此同时，还应注意渗透换元法、配方法、数形结合法、有界性法、辅助角法等数学方法，教学习题选择如下：

（1）求函数y=sinx+1的最值，x∈[-，]。

变式：求函数y=acosx+b的值域。

（2）求函数y=sinx+cosx的值域。

变式：求函数y=sinx+cos（x-）+1，x∈[-，]的最值。

（3）求函数y=2cos2x+5sinx-4的最值。

变式：求函数y=cos2x-cosx+2的最小值，x∈[-，]的最值。

（4）求函数y=sinx-cosx+sinxcosx的最值。

问题在原来基础上变得较为容易，同时，学生在解决该问题的过程中，对数形结合法的认识又有新的体会，这也是新旧知识的“再同化”。

3.拨乱反正

从掌握知识的纵向看，学生的理解有深浅之分，这一点由“深化”可以得到补救，从“横向”看，学生的理解可能会有偏差，这时，就需要借助数学习题加以校正。

如“空集”这一概念，学生看了似易理解，接着问“﹛0﹜”是否是€%o？﹛€%o﹜是否是空集？进一步：已知集合A=﹛x|x2-2ax+1=0﹜且A∩｛1｝=€%o，求实数a的取值范围。

这样就能有效地解决学生理解“空集”产生的一些不当和错误。

三、数学习题在课堂教学中的功能

如前所述，数学习题在课堂教学中并不是随意设置、选择的。它既要考虑到适合课堂教学内容、体现两个原则；同时，在对数学习题的演练中，还要突出它所应体现的几个功能，方能达到我们最初选择学习的目的。概括地说，数学习题功能应体现出：

（一）知识功能

通过数学习题，使学生获得较系统的数学知识，形成必要的技能、技巧。具体地说，通过数学习题要能顺利引入新知、及时巩固知识、合理运用知识，充分借助“数学的实质就是解题”，展示知识的发生、发展过程。

（二）教育功能

数学的教育功能可分为两个方面，即智力和非智力的一方面，学生对数学问的求解过程中，所体现出的坚强的意志、好强的个性、大胆展示等良好的心理素质，是属于非智力培养的内容。另一方面，“数学是思维的体操”客观地反映出数学习题的智力教育内容。这一教育内容主要通过教学的全过程来实现。数学教学的过程，即概念的形成、结论的推导过程和方法的探讨过程，也就是数学问题解决的过程，通过问题解决，使学生获得和发展推理能力、化归能力，形式化地处理问题和建立数学模型的能力，以及运用对应、函数、同构、极限、方程、图象等数学观念解决问题的能力。

（三）评价功能

课堂教学中，如何通过习题来评价学生对知识的理解、掌握程度非常重要。特别是学生的知识水平和能力水平通过课堂教学评价落实得好，可以及时为教师调整教学方法提供保障，使教学过程少走弯路，提高课堂教学效益。

（责任编辑 刘新）

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