分块反上(下)三角阵逆阵的求法

【摘要】本文研究了分块反上三角阵及分块反下三角阵的求逆方法，得到类似于分块对角阵的逆阵的形式，减少了运算量，降低了计算难度.

【关键词】分块矩阵；分块对角阵；分块反上（下）三角阵；矩阵的逆

一、引 言

矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数，线性规划，统计分析以及组合数学等.在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等.对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明会是一个很烦琐的过程，矩阵分块的思想由此产生，矩阵分块可以用来降低较高阶矩阵的阶数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使一些矩阵的计算简单化.

用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵：

A11A12…A1tA21A22…A2tAs1As2…Ast .

其中每个小矩阵Aij(i=1，…，s；j=1，…，t)叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵.

我们已经知道分块对角阵的逆阵的求法，分块对角阵的逆阵依然是一个分块对角阵，其逆为对应对角线上子块求逆.我们已经得到，对于具有更一般形式的分块上（下）三角阵有类似的结果.即只要通过计算相关的子块而得到该矩阵的逆.本文针对反上（下）三角阵，研究其逆的求法.

二、主要结论

分块反下三角阵的逆：

定理1 设P=0BCD是一个四分块方阵，其中B为r阶方阵，C为k阶方阵，当B与C都是可逆矩阵时，则P是可逆矩阵，并且P-1=-C-1DB-1C-1B-10.

类似可得关于分块反上三角矩阵的逆：

推论2 设P=ABC0是一个四分块方阵，其中B为r阶方阵，C为k阶方阵，当B与C都是可逆矩阵时，则P是可逆矩阵，并且P-1=0C-1B-1-B-1AC-1.

当P为分块对角阵，即定理1中D=0时，可立得关于分块反对角阵的逆阵的结论：

推论3 设P=0BC0是一个四分块方阵，其中B为r阶方阵，C为k阶方阵，当B与C都是可逆矩阵时，则P是可逆矩阵，并且P-1=0C-1B-10.

例 求矩阵M=0001200035400120202400403的逆矩阵.

解 设A=000000，B=1235，C=400020004，D=122303.

则B-1=-523-1，C-1=140001200014，

-C-1DB-1=-140-1212-9434 .

由定理1，可得

M-1=-C-1DB-1C-1B-10=

-1401400-12120120-94340014-520003-1000 .

三、结 论

以上结论告诉我们，分块反上（下）三角阵的逆阵为分块反下（上）三角阵，其子块分别为零矩阵，或一子块的逆，或为其子块之间的运算.所以我们能够把求较高阶矩阵的逆转化成求较低阶子块的逆.这样的处理给我们的计算带来很大的方便.上例就是很好的印证.因此我们在求矩阵的逆时，应首先观察其特点，如果发现其为分块反上（下）三角阵，即可用上面的公式计算.

基金项目：南京林业大学高学历人才项目（163101006）资助.

【参考文献】

［1］百度百科.矩阵［EB］.http://baike.baidu.com/view/10337.htm#2，2009-02-21.

［2］同济大学数学系编.工程数学线性代数（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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