基于实验和科研案例的离散数学教学模式探索
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摘 要：针对离散数学课程具有高度抽象、逻辑严谨、算法和定理偏多等特点，文章提出了一种基于实验和科研案例的离散数学教学模式，简单介绍了构建的课程实验项目内容和设计的科研案例。实践结果表明，该教学模式能够有效调动学生对本课程的学习兴趣，明显提升了教学质量。
关键词：离散数学;实验项目;科研案例
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2019）26-0120-03
Abstract： In view of the characteristics of discrete mathematics course， such as high abstraction， rigorous logic， more algorithms and theorems， this paper proposes a discrete mathematics teaching model based on experiments and scientific research cases， and briefly introduces the content of the curriculum experiment project and the designed cases of scientific research. The practice results show that this teaching model can effectively mobilize students" interest in learning this course and improve the teaching quality.
Keywords： discrete mathematics; experiment items; cases of scientific research
一、概述
离散数学是计算机类专业的一门重要的专业基础课，属于现代数学的范畴，是随着计算机科学的发展而逐步形成的一门新兴的工具性学科。它是学习程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析等计算机专业后续课程的先行课程。离散数学课程的教学目标是培养学生掌握處理离散结构的描述工具和方法，提高其抽象思维和严格的逻辑推理能力，为其后续课程学习创造条件，进而为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实基础。
鉴于离散数学在计算机专业中所起到的重要作用，因此亟待加强对该课程的重视程度，提升教学成效。离散数学具有高度抽象、逻辑严谨、算法和定理偏多等特点。对于计算机专业的学生而言，如果还是按照传统的教学模式：概念引入——定理逻辑证明——巩固练习，多年的教学经验表明，该教学模式效果非常不理想。如果把离散数学按照单纯的数学课程进行授课，会使得计算机专业的学生感觉理解课程中的相关内容比较晦涩难懂，认为本课程和计算机专业关联度很低，致使其学习本课程的积极性大打折扣。
因此，针对离散数学教学中面临的实际问题，需要改进传统的离散数学教学模式，根据计算机专业的特点和当前科研领域中的热点，针对相应的知识点设计恰当的计算机专业相关的实验案例或者当前学科领域中研究的热点问题，通过做实验或者解决实际的科研问题，加深学生对所讲授内容的理解，让学生切实感受到本课程在计算机专业中的重要价值，进而提升教学效果。
二、实验项目设计
根据课堂讲授内容，设计相应实验案例，以加深学生对课堂讲授理论的理解，体会相应知识在本专业领域的具体应用[1-2]。在设计实验案例时，从培养学生的计算思维，提升数学素养和程序设计能力的角度出发，训练学生利用所学内容建立数学模型和解决实际工程问题的能力[3]。针对离散数学中的各部分内容，需要设计有针对性的实验，根据实际的教学情况，予以恰当地安排实施。针对离散数学中的四部分内容我们设计了下述实验项目，如表1所示。
实验教学环节突出以应用为导向的教学模式，目的是加强本课程的实践性，促进学生对所学理论知识的理解。实验内容要根据学生的编程能力和先修课程进行合理安排，可以选择以小组或团队分工合作的形式进行，这样不仅可以推进实验项目顺利实施，还可以同时培养同学们团队合作的能力。
三、科研案例设计
结合大数据、人工智能等专业中的相关内容，把该领域中涉及到的热点问题与课堂讲授内容进行有机融合，引导同学们运用所学知识建立恰当的数学模型对问题进行描述和求解。教师结合自己所研究领域，把学科前沿课题引入到课堂，是一种理想的理论联系学科前沿的途径[5]。这样既可以使学生了解所学的理论知识在学科发展中所起到的重要作用，也可以使学生尽早接触到学科发展的前沿领域，进而培养学生的科研兴趣，锻炼学生的科研能力。
针对离散数学中各部分涉及到的知识点，结合计算机大类专业相关课程中所研究的经典和热点问题，我们设计了下述具有一定开放性和探索性的科研案例，具体如表2所示：
下面以基于最小生成树的图像分割算法为例，简单介绍结合科研案例的教学设计过程。
（一）最小生成树[4]
最小生成树：设无向连通带权图G=（V，E，W），T是G的一棵生成树，T各边带权之和称为T的权，记作W（T）。G的所有生成树中带权最小的生成树称为G的最小生成树。
求最小生成树的典型算法有Kruskal算法（避圈法）、Prim算法（边割法）和Sollin算法，下面简单介绍Kruskal算法。
Kruskal算法 设G=（V，E，W）是n阶连通带权图。
1. 在边集E中选一条具有最小权值的边e，加入生成树T中，并将e从边集E中删去。
2. 在边集E中选一条具有最小权值的边e，若e和已在T中的边不构成回路，将e添加到T中，并从边集E中删去e;若e和已在T中的边构成回路，从边集E中删去e。
3. 若T中的边数为n-1，算法结束，否则返回（2）。
算法结束时，T就是G的最小生成树。
（二）基于最小生成树的图像分割算法
图像分割是图像处理和模式识别中的一类非常重要的技术，是进一步进行图像识别、分析和理解的基础。图像分割是把图像分成若干个特定的、具有独特性质的区域并提取出感兴趣目标的技术和过程[6]。目前已有很多图像分割方法，基于最小生成树的图像分割算法是很重要的一类方法。
为了利用最小生成树算法，首先利用图模型对图像进行描述。把图像的像素点或者区域映射为图的顶点，顶点之间的连接映射为边，边的权值表示顶点之间的相似度或差异度。采用文献[7]中的方法对图像进行分割：
步骤1：定义邻接图G=（V，E），V表示圖的结点集，图像的像素点pi映射为图的结点集V中的点vi，E为连接结点的边集，边上的权值为邻接像素间的相似度。如以灰度图像为例，其权值计算公式为：
其中，d（pi，pj）为两像素间的灰度差，？琢为度量尺度参数。
步骤2：利用公式（1）计算图中每条边的权值，对所有的边依据权值单调递增的顺序进行排序。
步骤3：选择第一条边，计算邻接像素块K1，K2内部差异以及块之间的差异。初始化时，每个像素点为一个单独的块。对于邻接像素块K内部差异，由该块的最小生成树MST（K，E）中的最小权值确定：
（2）
不同像素块间的相似度用连接这两个块所有边的最大权值表示：
步骤4：根据像素块内部和像素块之间的相似度定义边界预测条件D。如果邻接块之间的相似度小于其中任一块的内部相似度，则认为两个块间有边界，否则两块间不存在边界。边界预测条件用下式表示
其中，MIntra（K1，K2）表示邻接像素块K1，K2的最小内部差异：
（5）
t（·）为与块大小相关的阈值函数。
步骤5：根据公式（4）判断邻接区域间是否有边界存在，如果不符合该条件，则两区域间不存在边界，合并两区域块，否则就分割。
步骤6：持续进行迭代分割，直至处理完邻接图中所有的边，分割结束。
通过这个简单的图像分割的算法实例，可以让学生从抽象的数学概念和算法中解脱出来，训练学生利用所学的概念和算法对实际问题进行建模描述和求解的能力，让学生切实体会到所学知识的重要价值。事实上，基于最小生成树的图像分割的方法，有其不足之处，可以鼓励同学们积极探索新的方法，对上述分割算法进行改进。
所设计的科研实例应具有研究价值，学生入手容易，是目前还没有最佳解决途径的开放性问题。同学们可以利用教材中讲授的知识点，掌握解决该问题的一类经典方法。同时鼓励同学们检索相应的文献资料，了解该类问题的研究现状，现有方法存在的弊端，鼓励同学们对现有方法进行改进，以培养同学们积极探索和自主学习的能力。
四、结束语
本文根据离散数学课程教学现状，提出了基于实验和科研案例的教学模式。对于离散数学中抽象的概念和算法理论，力图通过实验和科研实例中的具体应用，加深同学们对相关内容的理解。通过实验和科研案例的实践环节，可以培养学生利用所学知识解决实际问题的能力，进而培养学生的计算思维。教学实践表明，基于实验和科研案例的教学模式可以有效调动学生对本课程的学习兴趣，提升教学质量。设计更加合理的实验系统平台和构建适应学生学习基础的科研案例，是我们今后完善本教学模式改革的重点工作。
参考文献：
[1]郑红波，秦绪佳.研究型与实验型相结合的离散数学教学模式[J].计算机教育，2017（1）：120-123.
[2]李华昱，张千.离散数学实验平台构建及实验方法研究[J].科教导刊，2018（6）：49-52.
[3]蒋运承，詹捷宇，马文俊.计算思维角度下的离散数学课程教学思考[J].计算机教育，2019（1）：9-12.
[4]陈琼，马千里，周育人，等.离散数学及其应用[M].机械工业出版社，2018.
[5]刘明.结合科研实际的离散数学教学方法探索[J].科教导刊，2018（6）：107-108.
[6]金璇.基于图的彩色图像分割算法研究[M].华南理工大学，2016.
[7]Pedro F. Felzenszwalb， Daniel P. Huttenlocher. Efficient graph-based Image Segmentation[J].International Journal of Computer Vision， 2004，59（2）：167-181.
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