立足数学课堂实施有效教学
总结得出两个计数原理，能初步领会应用原理解决计数问题的要领，在探究过程中感悟原理所蕴含的思想方法和探究问题的一般策略.
（二）学生学情分析
对计数问题，学生在不同的学段都有相应的接触，在必修2中学习“古典概型”时，突出了枚举法或树形图在计数中的作用;在生活中，学生也不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，具备了一定的归纳、类比能力，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础.
原理虽然简单朴素，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，则是本节课须突破的难点.
二、教学目标设置
（1）准确理解分类计数原理和分步计数原理，并能说出它们的联系与区别;
（2）能准确地选择两个原理解决一些简单的实际问题;
（3）通过历经两个计数原理的发现和探索过程，让学生领悟运用两个原理所包含的划归与转化、分类与整合、特殊到一般的思想方法以及以退为进的思维策略.
三、教学策略分析
本节课是概念原理课教学的典范，拟定采取以退为进的教学策略，采用“创设情境→问题导引→实例探究→抽象概括→辨析提升→原理应用→反思升华”的探究式教学法，紧紧围绕如何抽象、如何概括、归纳和怎样应用等问题展开.
四、教学设计与简录
（一）创设情境揭示主题
播放儿歌《数鸭子》片段，门前大桥下，游过一群鸭，快来快来数一数，二四六七八，哎呀哎呀真呀真多呀，数不清到底多少鸭，数不清到底多少鸭！
教师：同学们，刚才我们听的这首儿歌名叫《数鸭子》，你能说出歌词向我们呈现了怎样的
数学问题？
众生：数数问题.
教师：对，计数问题.对数多少只鸭子，我们可以采用枚举法予以计数.原始人就会利用结绳来计数，我国早在宋代就出现了用算盘计数，计数问题在我们学习生活中随处可见，它也是我们学习排列、组合、概率、统计的基础.下面让我们来看这样的一个计数问题.
【设计意图】以一首熟悉的儿歌开始，轻松活泼引入话题.同时也说明总数不大时，我们可以采用枚举法计数.简短的几句话，把学生带进一个崭新的数学世界，激发学生的求知欲望—到底如何计数？概率、统计到底学什么？
（二）问题导引设置悬念
引例2014年宿迁地区私家车的保有量为33.62万辆，随着经济的发展，到2020年，私家车的保有量将达到60万辆，交管部门现推出新的个性化牌号的规则：
（1）①号位必须选择英文字母，③号位为文字母或阿拉伯数字，其余三位均为阿拉伯数字;
（2）英文字母不得选用I、O、Q.
试问，到2020年这样的个性化牌号的容量能否满足要求？
教师：这个问题你还能一一列举吗？
众生：不能.
教师：为什么？
生1：数目太大.
教师：对，对大数的计数问题，枚举法就显得力不从心，此时就迫切需要我们探索一种新的
计数方法——这就是我們今天所要研究的内容——两个计数原理.
【设计意图】通过生活中的学生熟悉实际问题切入，将学生的思维带入悱愤状态，提高了学生参与学习的积极性，同时也突出了学习本节课的必要性.
（三）实例探究提炼本质
实例探究1
师：下面我们先来从两个简单的问题着手探究.
问题1 （1）（我的老家在安庆，国庆节期间，我回家探亲）已知从镇江到安庆直达火车每天有4列，直达汽车每天有3班，试问我要从镇江到安庆，有多少种不同的直达方法？
（2）节目主持候选人中有4名男同学，8名女同学，若从中选一人主持节目，共有多少种不同的选法？师：（让学生思考片刻）你的答案是多少？又是怎么想的？
生2：有7种直达方法，因为火车和汽车班次之和为7，从中任选一个车次即可.
教师：还有其他解释吗？
生3：乘车方式有两种方案，若选火车，则有4种，若选汽车，则有3种，所以总的乘车方法数共有4+3=7种.
教师：说得非常好，我乘车回家有两类办法，第1类办法，乘火车有4种方法;第2类办法，乘汽车有3种方法，所以总的方法数为这两类办法数之和.（追问）我若选乘了火车，还可以选乘汽车吗？为什么？
生3：不能，因为你任选一种方法都可以回家.
教师：对，我没有分身之术，任何一种方法都可以一次性完成这件事，并且两类办法不可同时选择，它们之间是相互排斥的，那么请你类比刚才的分析，说说你对问题（2）的理解.
生4：选一名主持人，有两种方案，若选男生则有4种，若选女生有8种选法，所以总的方法数为这两类的方法数之和4+8=12种.
教师：很好，掌声！
【设计意图】问题背景贴近生活，其重要性不在于问题本身，而在于问题蕴含的“分类，加法”的一般性道理.所以，教学中教师的问法要有导向性，在师生对话中，要让学生感受到这个问题的共性及所蕴含的“分类，加法”的本质.
问题2：讨论问题1的（1）与（2）有何共性？
（小组讨论2分钟，代表交流，组员补充，教师总结，注意：要扣住“两类，一步到位，类类互斥和加法”来分析.教师提示：这两个问题的具体情境虽然不同，但都是在完成一件事.）
共性：（1）都是计算完成一件事情方法种数;
（2）完成这件事情都有两类办法，每类办法都可一次完成（一步到位）且类类互斥;
（3）总的方法种数为各类办法数之和.
【设计意图】通过自主思考、小组讨论和相互交流和补充，在教师的引导下，总结出问题的共性本质，为理解和归纳原理做铺垫.
问题3：从镇江到安庆，若未来每天还增开2个班次的直飞航班，我若回家又有多少种不同的直达方式？
生5：有三类回家方式，第1类，乘火车有4种;第2类，乘汽车有3种;第3类，乘飞机有2种，所以直达方式共有9种.
教师：也就是总的方法数为三类办法数之和.
实例探究2
问题4：（1）从镇江到安庆，我若先从镇江乘火车到合肥，再于次日从合肥坐汽车到安庆.
一天中，火车有4班，汽车有3班，那么两天中，从镇江到安庆共有多少种不同的乘车方式？
（2）节目主持候选人中有4名男同学，8名女同学，现从男女同学中各选一名来共同主持节目，共有多少种不同的选法？
教师：说说你对问题（1）的看法.
生6：4×3=12种.
教师：你又是怎么想的？
生6：如果乘火车1，则汽车就有3种乘法，同样乘火车2、3、4，汽车都有3种乘法，所以就是3+3+3+3=4×3=12种.
教师：他是将火车分为四类，每一类都有3种乘汽车方法，由分类计数原理知共有3+3+3+3，再将加法优化运算后写为4×3=12种，说得非常好.（追问）这件事可以一次性完成吗？
生7：不可以，需要分两步完成，第1步先从镇江到合肥，第2步再从合肥到安庆.
教师：那写成4×3后，4和3分别表示什么？
生7：4和3分别表示完成第1步和第2步的方法数.
教师：也就是说，完成这件事情的方法总数为完成这两步的方法数之积，哪一种写法更简便呢？
生7：后一种，乘法.
教师：问题5的问（1）与問题1的问（1）在完成这件事情的方式上有何不同？
生7：问题1只需要一步就可以完成，而问题5需要分两步才能完成，少一步都不行.
教师：对，缺一不可，还有不同吗？
生8：问题1是两类办法数之和，而问题5是完成两步的办法数之积，而且完成第1步的方法和第2步的方法之间是不相互排斥的.
教师：说得太好了（掌声）！我们把步与步之间不相互排斥称之为“步步独立”，请类比问题5的（1），说说你对（2）的理解.
生8：要完成选主持人，要分两步完成，第1步选男生，有4种选法;第2步选女生，有8种选法，则总的选法数为两步方法数之积4×8=32种.
【设计意图】一方面，通过类比分类计数原理，让学生归纳出分步计数原理，既起到温故知新的作用，又达到提高学生的类比转化能力;另一方面，从加法原理过渡到乘法原理，体现了两个原理间的内在联系，最后落脚点在“分步，乘法”这两个特征上，有利于新原理的主动建构.
五、反 思
有效教学，是指在师生双方的教学活动中，通过运用适当的教学策略，使学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力得到很好的发展.学生的进步和发展是衡量课堂教学有效性的唯一尺度.
（一）“熟悉学情”是数学课堂有效教学的前提
奥苏贝尔的经典名言：“将全部教育心理学一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素：学习者已经知道了什么.”教学内容必须紧扣教学目标、适合学生的认知水平，靠近他们的最近发展区，教学才能引起学生广泛的联想和认知冲突，在获取数学知识的同时，体验数学知识形成与发展.
（二）“以生为本”是数学课堂有效教学的核心
要相信：我们的学生能学习、能自主学习、还能帮你教学.教师应学做一名智慧的听众，教学中适当转化思维，促学生开口讲;通过真诚倾听，让学生讲清楚;适时点拨，助学生讲明白.将第一思考时间还给学生;将第一表达机会还给学生;将第一体验过程还给学生;将第一认知反思还给学生.
【参考文献】
[1]崔允漷.有效教学[M].上海：华东师范大学出版社出版，2009.