奇异值分解在多媒体信息技术中的应用

【摘 要】本文介绍了奇异值分解理论的基本概念，同时分析了矩阵奇异值的特征。同时对奇异值分解在多媒体图像压缩和数字水印技术中的应用进行了研究，对其中的原理进行了阐述。

【关键词】奇异值分解；图像压缩；数字水印

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1009-8283(2009)03-0098-01

0 引言

多媒体数字图像以数据矩阵形式储存在存储器中，这就使得通过操作数据矩阵的方式压缩多媒体图像成为可能。事实上矩阵的奇异值本身具有可降维的特性，若能合理的利用矩阵奇异值的这一特性，奇异值分解方法将在多媒体图像压缩领域有广阔的应用前景。同时现在出于对多媒体数字作品的保护，经常通过在数字作品中有意识地嵌入一些信号达到版权保护和完整性检测认证等目的即数字水印技术。

1 矩阵奇异值理论及其特征

1.1 奇异值分解

1.2 矩阵奇异值的特征及应用

矩阵奇异值的存在如下一些基本特征：

(1)矩阵奇异值的第一个特征是可以降维。若A表示n个m维向量，可以通过奇异值分解可表示成m+n个维向量，若A的秩r远远小于m和n，则通过奇异值分解可以大大降低A的维数。可以计算出，当 r

(2)奇异值的第二个特征是旋转不变性。即若P是正交阵 PA的奇异值与 A的奇异值相同。奇异值的比例跟旋转不变性特征在数字图像的旋转、镜像、平移、放大、缩小等几何变化方面有很好的应用。

2 奇异值分解在多媒体图像压缩中的应用

矩阵奇异值分解在多媒体图像处理中有着重要应用。在多媒体图像处理中应用奇异值分解的主要理论背景是：1.图像奇异值的稳定性非常好，即当图像被施加小的扰动时图像的奇异值不会有很大的变化。2.奇异值所表现的是图像的内蕴特性而非视觉特性，反映的是图像矩阵元素之间的关系。

根据上面的原理，假定已经提取了一幅图像的数据矩阵，记这个矩阵为 A。我们的目标首先应该是提取数据矩阵 A的奇异值，因为事先假设这个矩阵 A是个超大型矩阵，用随机抽样算法对矩阵 A进行奇异值估计，在对其奇异值做出正确估计的情况下，选择合适的大奇异值数量对数字图像进行压缩处理，最后重构数字图像矩阵，还原图像。

3 奇异值分解在数字水印中的应用

从线性代数的角度来看，一副数字图像可以看成是由一个许多非负标量组成的矩阵，可以用 A∈R^n×n来表示。

3.1 水印的嵌入

奇异值分解方法的基本原理是将水印嵌入到原始图像的奇异值中。在水印的嵌入过程中，先做n×n灰度图像A的奇异值分解，得到两个正交矩阵U、V及一个对角矩阵 ∑。尽管假设A是方阵，但其他非方阵可以完全用同样的方法来处理。这个特性是奇异值分解方法的一个优点，因为很多流行的水印算法都不能直接处理长方阵。

4 总结

由于奇异值具备的良好的数学特征，目前奇异值不仅应用在多媒体图像压缩、数字水印和文章分类等技术中，实际上它的应用己经渗透到了科学世界的许多其它领域。它在信号分解、信号重构、数据融合、目标识别、故障检测和神经网络中都有着很好的应用，随着科学工作者的不断探索，可以预见在不久的将来奇异值分解的应用范围必将不断的得到推广。

参考文献：

[1] 刘丁酉 矩阵分析 武汉：武汉大学出版社 2003年8月

[2] 张贤达 矩阵分析与应用 北京：清华大学出版社 2004年9月

[3] 刘锋 一种基于和的数字图像水印技术 计算机应用，2005年8月

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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