解应用题思维受阻的原因及对策
解应用题要求学生达到以下几方面的要求：一是具有较强语言基本功，能阅读、理解问题的背景材料，分清类型、性质，明确要求，即过文字关；二是具备扎实的数学基础知识、基本生活常识和基本的现代技术手段（如上海高考允许使用计算器），即过基础关；三是能运用数学知识或者技术手段分析各种数量关系，构造简单的数学模型，将实际问题数学化，并能解决这个数学问题，即过转化关。这每一关似乎都是横在学生面前的一道鸿沟，常使许多学生对之感到困难甚至望而却步。造成这种困难局面的原因何在？我们又该如何应对呢？
一、思维受阻的原因
发散性思维受阻。集中表现在审题这一环节上，缺乏认真仔细的良好习惯，不清楚审题的要求是什么，拿到问题后只是粗略一看，看了后面忘了前面，丢三落四，不能全盘把握题目语言中所提供的全部信息，不能准确地理解题目中的语句所表达的含义，不能联想与之有关的数学知识，即审题不全面不透彻，不能进行发散思维，因而无法深入下去，无法为寻找数学关系列式铺垫开路。
收敛性思维受阻。审题这一步完成后，下一步就需要将发散思维中考虑到的各数量、各因素进行凝聚、收敛，对它们进行加工，找出它们之间的相互关系。学生如果不能捕捉一切可组成等量、不等量的因素，就不能将题目中的各种原始材料收敛成数量关系，这时收敛思维受阻。
递进式思维受阻。学生即使能把握各类数量，汇聚成相等、不等量或函数的数学关系，但有时由于考虑问题不周密，把握不准，数学知识掌握不牢，不能最后列出正确的方程、不等式、函数等，或不能找到正确的数学方法将之解答，这时递进式思维受阻。
二、克服思维受阻的对策
经过以上的思考与分析发现，学生处理应用题的困难之处在于遇到问题之后无法从纷繁复杂的实际意义之中抽象出蕴含的数学知识和数学规律，简单地说，就是缺乏将实际问题转化为数学问题的能力。解答应用题应是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学答案，然后再把数学答案回到实际问题中去获取具有实际意义的结论的过程。克服思维受阻的主要对策就在审题上。
审题是解答应用题的起点，只有有效地审题，才能准确理解题意，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念，分析已知条件，明确所求的结论，把实际问题转化为数学问题。有些学生一见应用题的文字比较长，题目中的情景比较陌生，连题目都没有读完就放弃了。实际上，这类问题往往也是对学生心理素质的严峻考验，只要你能树立信心，保持冷静，认真对待，等你认真阅读完了，就会知道大部分的应用题并不难。审题的手段有下面三个。
读题。可用加点划线的方法强调关键性的语句，再连贯读出，形成完整的基本问题，也可以用划分层次、归纳大意的方法从背景材料中提炼需要解决的实际问题；或对多个数量进行汇集、归类，借助图表，呈现出已知量和未知量，体现出需要解决的数学问题；或者用改写的方法对应用题去掉枝叶，抓住主干，保留题中的数量关系，将实际问题等价转化为数学问题。通俗地说，读题后能用自己的语言像讲故事那样将题目的含义全面而准确地表达出来。
翻译。应用题建模的关键在于语言的理解与转换，即翻译，它包括：对陌生名词、概念的领悟，把通俗的文字语言、专业术语及图形语言等转化为数学符号语言。也就是要剥去其“应用”的神秘外衣，还数学问题的本质。
挖掘。有的应用题中的因果关系和内在规律具有一定的隐蔽性，而它正是建模的必备条件，因此，能否挖掘出题目中蕴含的数学信息是正确建模的重要环节。这是解题的难点，挖掘就是对题目中的各种数量关系之间进行沟通，联想归纳为我们所熟悉的某种数量关系。
下面举例说明处理应用题的审题及思维分析过程。
例 （2006年湖南卷）对1个单位质量的含污体进行清洗，清洗前其清洗度（含污物体清洗度的含义为：1-■）为0.8。要求洗完后的清洁度是0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是■（x＞a-1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是■，其中c（0.8＜c＜0.99）是该物体初次清洗后的清洁度。
（Ⅰ）分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少;
（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
本题背景立意新颖，平凡中见真奇，综合考查了函数、不等式和导数知识，体现了高考在“知识网络交汇点”命题的指导思想。本题的一个显著特征就是文字叙述较长，相关的制约条件较多。在面对这个应用题时，我们应能完整准确地叙述好以下几点：
清洁度=■，简称“物体+水=所有物，清洁度=清洁物在所有物中所占的比例”。
开始时：物体=1，清洁物=0.8，故清洁度为0.8。
一次清洗后：清洁物=0.8+x，所有物=1+x，清洁度=■。
二次清洗后：清洁物=y+ax，所有物=y+a，清洁度=■。
本题第一问是要比较两种清洁方式的用水量，第二问探讨第一次清洗后总质量与第二次用水量之间的关系。
经过上面的就题叙事后，那么就完成了一个实际问题向一个纯数学问题的过渡。弄清楚了清洁度等各个关键词后，根据题设中的关系，第一问的解决也就好办了。设方案甲与方案乙的用水量分别为x和z，从而有■=0.99?圯x=19。由c=0.95得方案乙初用水量为（■=0.95?圯z=3）3。第二次用水量y满足方程■=0.99?圯y=4a，故z=4a+3，即两种方案的用水量分别为19与4a+3，要比较两种方案用水量的大小，可以采用作差比较大小了：x-z=19-4a-3=4（4-a）＞0（1＜x＜3），即x＞z，故方案乙的用水量较少。
在处理第二问时，我们应根据题意弄清初次与第二次清洁度的用水量（分别设为x与y）。
由于该物体初次清洗后的清洁度为c，则有■=c，于是有x=■ ①。又清洗后的清洁度为0.99，则有■=0.99，于是有y=a（99-100c） ②。因此
x+y=■+a（99-100c）=■+100a（1-c）-a-1。
当a为定值时，x+y≥2■-a-1=-a+4■-1。
当且仅当■=100a（1-c），即c=1-■∈（0.8，0.99）时等号成立（c＞1已弃之）。将c代入①，②式可得x=2■-1＞a-1，y=2■-a。
故c=1-■时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为2■-1与2■-a，最少总用水量是T（a）=4■-a-1，当1≤a≤3时，T（a）=■-1，故T（a）是增函数。
在本题的解答过程中，学生思维受阻和常见失误主要表现在以下几个方面，一是数学建模能力差，因未能正确理解题意，不能把实际问题抽象成数学问题。关键在于理不清第一次清洗后与第二次清洗后的清洁度，从而得不出两次清洗后的用水量，导致建立目标函数的模型困难；二是迁移化归能力不强，在求出目标函数后却不会用均值不等式求最值，能用均值不等式的又不知利用等号成立的条件求变量的取值，应用均值不等式时又往往忽视“一正、二定、三相等”的三要素；三是基本变形能力差。如在求出两次清洗后的用水量x+y=■+a（99-100c）后，不能将其变形成“互倒”结构x+y=■+100a（1-c）-a-1，从而无法利用均值不等式求最值。上述因素是导致本题得分不高的主要原因。
（作者单位：华容县第二中学）
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