试论定积分在物理及其他领域的应用

摘 要：定积分是数学分析中比较常见的问题，其在日常生活与生产中有着大量的运用。本文就定积分在物理及其他领域的应用进行简单地探讨。

关键词：定积分；物理；应用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.199

1 引言

数学是物理学常用的一种工具，唯有经过数学才可以准确展示出自然规律。唯有运用数学才可以把握较为繁杂的变化环节以发现最基础的规律。物理学与数学相互促进，共同发展。定积分是积分学的重要构成内容，在日常生产与自然科学当中有着非常多的问题均能够运用定积分妥善解决，在物理学中求平均速度、电功率、功、电场强度以及转动惯量等问题。

2 定积分在物理学中的应用

在具体问题当中，物体在移动过程中所受到的力通常是不断概念的，此便需充分考虑变力作功的相关问题。

若物体在变力的影响下，在轴上从点转移至点，同时变力方向和轴完全相同。将作为积分变量，。在范围内的任意区间，此区间范围内各个点位的力均能够运用点处的力近似取代。

所以，可得功的微元是，点转移至点变力所做的功是：

例 在原点处存在着1个带电量为的点电荷，其所形成的电场对于附近电荷有一定的作用力。现有1单位正电荷由距离原点a位置处的沿射线方向移动到距离原点的位置，问：电场力做了多少功？ 若将此单位电荷移动到无穷远的位置处，电场力做功多少？

解 将电荷移动的方向看作轴正方向，则电场力可记作：（ 是常数）。在区间内，通过“常代变”方式可求得微元是。

如果移动到无穷远的位置处，则做功：

在物理学当中，将以上移动到无穷远位置处所做的功称之为电场在a位置处的电位，因此可得电场在a位置处的电位是。

例 弹簧在拉伸环节，其所需的力和伸长量成正比例关系，也就是（是比例系数）。在弹簧拉伸的时候，需要力，若想使得弹簧拉伸，问该外力做功多少？

解 在时，；将其代入到，可得。进而变力是，根据以上求得所得功是：

3 定积分在其他领域中的应用

3.1 定积分在数学中的应用

运用定积分求解立体图形的体积。

例 求由椭圆面所组成立体图形的体积。

解：用平面截椭球面，便能够获得椭圆在平面中的正投影：

因此可得截面面积为： 。

针对所截得的若干体积基块实施求和。第一，对和积分；第二；运用已经知晓的数列进行计算；第三，求导便能够获得界。

求解可得橢球的体积为：。

在时，椭球的面积为：。

3.2 定积分在经济学中的应用

例 某公司制造吨商品的边际成本是（元/吨），同时其固定费用是元，问：当该产品的产量为多少时公司的平均成本最低。

解：该公司的产品成为：

产品平均成本为：。

一阶导数：，令，便可得（舍去）。

所以，只具有一个驻点x1=300，根据实际问题能够获悉存在最小值，因此在产量为300吨时，该公司的平均成本可达到最低水平。

4 结论

综上所述，定积分的发展与运用密切相关，最早牛顿运用定积分是为了能够由万有引力推演出行星三定律。定积分的发展与运用促进了数学学科的快速发展，并且在较大程度上促进了物理学、天文学、工程学以及化学等学科的不断发展。经过上述案例分析可知，定积分存在于人们日常生活与生产的各个层面，并且还能够将微元法的相关理论运用于现实的生活中，以更加好的解决相关的问题。

参考文献：

[1]王强.定积分在《大学物理》教学中的应用研究[J].陕西教育学院学报，2011（09）.

[2]袁朝圣，徐英.积分在大学物理中的应用探究[J].教育教学论坛，

2014（12）.

[3]易采桥，周露珠，于诗函.定积分在经济学中的应用[J].科技风，

2018（01）.

作者简介：霍龙龙（1988-），男，河南济源人，硕士研究生，助教，研究方向：数学。

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