非线性动力系统混沌同步动力学问题
摘 要：分岔、混沌等特性是现代非线性科学研究的重点问题，在自然科学与工程应用中具有普遍的意义。揭示一类非线性动力系统的动力学行为机理和规律具有迫切、重大的需求。近年来在此方面开展了许多相应的研究工作，例如生物神经元放电节律、混沌同步、混沌控制等。本文主要阐述近年来对混沌同步方面的研究进展，对混沌同步的研究不仅仅是一个应用问题，而是从工程应用的角度来研究混沌理论及控制问题，研究结果有利于促进人们对混沌同步控制的理解。最后总结研究进展的内容并提出对非线性同步动力学今后研究的展望。
关键词：非线性系统 分数阶 混沌 同步
中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）12（c）-0248-03
Abstract：The bifurcation and chaos etc. phenomena are the key problems of modern nonlinear scientific research， and are of more and more universal significance in natural science and Engineering. It is of exigent and momentous demand in natural science and Engineering to reveal the mechanism of various phenomena and various laws of dynamical behavior of a certain kind of nonlinear dynamical system， though many efforts have been made， for example， the firing rhythm of neuron in neural system and chaos synchronization， etc. This paper mainly focuses on recent advances of chaos synchronization in nonlinear system. The research on chaotic synchronization is not only an application problem， but also the theoretical analysis problem on the chaotic theory and chaotic control from practical application. And the results of research can deepen more the cognition to chaotic control and information processing. Finally， conclusion is drawn and some outlooks of future research are suggested.
Key Words： Nonlinear system；Fractional-order；Chaos；Synchronization
當今，非线性动力学是自然学科中一门重要的前沿学科，它是在各门分支学科的基础上以非线性为特征逐步发展起来的综合性学科，旨在揭示非线性动力系统的共同性质、基本特征和运动规律[1]。随着近代科学技术的迅速发展，非线性相关理论已经融入到了数理科学、生命科学、空间科学等诸多学科领域，无论是在物理、力学、化学领域中，还是在生物和工程等领域中都普遍存在着许多非线性动力系统[2-3]。动力系统总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性、构件大变形、流体-结构耦合作用，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。通常情况下，将非线性动力方程简化为线性近似方程去求解。然而，非线性方程在大多数情形下不存在封闭形式的解析解，且线性化方法有很大的局限性，在许多情况下，不能准确反映非线性方程的本质特性。因此，有待寻求解决非线性力学问题的有效方法。
自19世纪末20世纪初，伴随着第二次工业革命前进的步伐，非线性动力系统理论研究逐渐兴起，Poincaré、Laypunov、Birkhoff、Andronov、Arnold、VK. Melnikov、Smale、Lorenz等一大批数学、物理学方面的科学家为非线性动力学理论研究奠定了夯实基础。20世纪60年代以来，随着计算机技术快速发展，人们对非线性问题进行大量的数值模拟，揭示了非线性动力学极其丰富的现象。各种现代数学、物理等理论的涌现为非线性问题的研究提供了强有力的理论工具。近年来，非线性动力学从广度到深度都以空前的速度向前发展，与其他自然科学和工程技术中的非线性问题研究紧密结合，成为近代科学技术中重要的前沿领域[4-6]。其中，分岔、混沌、分形和孤立子是非线性动力系统运动普遍现象，内在规律极其丰富而复杂，需不断深化完善，是当前非线性科学研究的重要课题。
1 混沌研究现状
法国数学家、物理学家Poincaré在研究天体力学中的三体运动问题时，发现存在混沌现象。他发现三体在引力相互作用下能产生复杂的动力学特性，可以理解为确定性动力学方程的某些解具有不可预见性，也就是我们所说的混沌现象。1963年，Lorenz在《大气科学》上发表了“确定性非周期流”一文[7]，真实报道了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本性态，即著名的“蝴蝶效应”。1971年，法国Ruelle和荷兰Takens联名发表了著名论文《论湍流的本质》，提出用混沌理论来描述湍流形成机理的新观点[8]。1975年，李天岩和Yorke在《美国数学》上发表了“周期三意味着混沌”一文[9]，深刻地揭示了从有序到无序的演化过程。1977年，有关混沌理论的国际会议第一次在意大利召开，标志着混沌学的诞生。此后，在世界范围内掀起了人们对混沌理论的认识和研究热潮。目前虽然混沌研究非常蓬勃，但其理论还远未成熟，其研究主要包括：产生混沌的机理和途径；混沌的判据和统计特征；混沌吸引子的吸引域的几何结构；混沌的控制与应用等等。近年来，混沌控制理论在实际应用中已成为最具有挑战性的研究课题之一。
2 混沌同步在非线性科学理论研究概况
非线性动力系统应用研究已受到了科学与工程界越来越多的关注，例如混沌在生命科学、保密通信、信号检测、分析和处理、信息处理等领域的应用。混沌信息在处理中扮演着重要的角色，而混沌保密通信的关键技术是混沌同步控制，因此混沌同步控制理论研究具有非常重要的理论意义。
2.1 整数阶系统混沌同步控制
1990年，美国科学家Ott、Grebogi和Yorke[10]用参数小扰动法（即OGY法）成功地对混沌进行控制。同年，美国海军实验室的研究人员Pecora和Carrol首次在电路上实现了混沌同步，并成功用于保密通信中[11]，这一开创性工作引起了人们的极大兴趣，推动了混沌同步的迅速发展。随后相关学者从不同的角度实现了非线性系统的混沌同步，如完全同步、广义同步、投影同步、反相同步[12-13]等等。例如，2005年，严建平和李常品研究了广义投影同步[14]，利用主动控制方法，构造非线性反馈控制器，分别实现了Lorenz系统和Chen系统的广义投影同步。2007年，李国辉教授[15]在此基础上进行了改进，使得驱动系统与响应系统的所有对应状态变量可以按照不同的比例因子投影同步。2011年，阿布都热合曼·卡的尔[16]等采用全状态混合投影自适应同步和主动控制同步两种方法，实现了系统参数已知时统一超混沌系统投影同步问题；同年，李震波[17]等通过引进特殊矩阵并基于Lyapunov稳定性理论，提出了一种改进的主动控制法來实现混沌系统的广义投影同步，与以往的主动控制相比，简化了相关运算步骤和复杂度。之后，李农[18]提出一种实现混沌系统投影同步的统一方法，通过构建一个广义矩阵和一个合适的响应系统，建立了混沌投影同步的通用模型，将各种投影同步方法表达为混沌系统的统一投影同步，该方法具有普适性好、实用性强等特点。可见，对此类混沌现象的产生机理及其应用前景的研究，将成为混沌系统同步研究的一个崭新分支。
2.2 分数阶系统混沌同步控制
在整数阶混沌系统发展的基础上，人们通过大量研究发现：整数阶微积分是分数阶微积分的特例，整数阶混沌系统都是对实际混沌系统的理想化处理[19-25]。若将分数阶微分算子引入到混沌系统中，则分数阶系统仍然能产生复杂的动力学行为，具有非常强的随机性和不可预测性。例如，当阶次为2.7时，分数阶Chua电路仍可以产生混沌吸引子[21]；当阶次低于2时，非自治的Duffing系统仍然可以表现出混沌行为[22]。此外分数阶Lorenz系统[23]、分数阶Chen系统[24]、分数阶Lü系统[25]等一系列分数阶动力系统相继被人们发现和研究。随着分数阶混沌系统同步控制在工程实践中的应用，人们相继提出了众多的分数阶混沌同步控制方法。2007年，张成芬[26]研究了分数阶Liu混沌系统和统一混沌系统的动力学行为，利用主动控制方法实现了分数阶Liu系统与分数阶Lorenz系统及分数阶Lü系统的异结构同步；2010年，周平[27]基于追踪控制的思想，利用分数阶系统稳定性理论，实现了分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的混沌同步，给出了补偿器和反馈控制器的选择方法。2011年，孙宁[28]通过设计新型滑模控制器，应用主动控制原理和滑模控制原理，实现了新的分数阶超混沌系统和分数阶超混沌Chen系统的投影同步，该方法将分数阶混沌同步扩展到超混沌系统；胡建兵[29]在此基础上又提出了阶次不等的分数阶混沌系统同步问题，提出了一种将不等阶分数阶系统的同步问题转化为等阶的异结构同步问题，该性质对混沌保密通信具有一定的理论意义。在此基础上，有学者进一步研究了参数均未知时的自适应同步及参数辨识问题，从而很好地解决了参数摄动问题，具有良好的鲁棒性能。董俊等人[30]利用分数阶系统稳定性理论和自适应控制方法，构造出相应的非线性控制器和未知参数的辨识规则，实现了参数不确定的三维分数阶混沌系统与四维分数阶超混沌系统之间的函数投影同步及参数辨识。
从上述报道中我们看到，混沌同步控制历经十多年的研究，国内外学者虽然已经提出了很多混沌同步的理论方法，并已成功地应用工程实践。但是由于非线性理论的复杂性及不确定性，而且该领域的研究还在快速发展之中，很多问题仍有待于进一步探讨；而且国际上对分数阶动力系统的研究仍然处于起步阶段。
3 结语
当今处于“互联网+信息”时代，非线性动力系统混沌同步控制应用于保密通信中，必将在信息安全和通信对抗中扮演重要的角色。本文介绍了我们近年来对混沌同步控制方面的研究进展。首先，介绍了整数阶系统的同步控制问题，给出了适当的控制方法。然后，介绍了将整数阶混沌同步推广至分数阶系统，针对一类分数阶混沌系统的同步问题进行了相关的研究。作者进一步研究了参数均未知时分数阶异结构超混沌系统的自适应函数投影同步及参数辨识问题，该方法为多种整数阶混沌同步方法应用于分数阶混沌系统奠定了理论基础，很好地解决了参数摄动问题，具有良好的鲁棒性能。我们期待这些研究能够对现实混沌保密通信方案的应用提供理论指导。
由于非线性动力系统呈现非常复杂的动力学特性，探索复杂非线性动力系统混沌同步控制的物理机制仍然比较欠缺。大多数学者们已意识到，非线性动力系统的分数阶微积分理论与经典的整数阶微积分理论相比理论更复杂，非线性动力学的重要定理和方法还没有推广到分数阶非线性动力系统中，相关理论有待于进一步研究。目前，在非线性动力系统的混沌同步控制研究中尚存在一些难点，尤其在工程实际应用中，比如噪音在信息传递中的处理问题、保密通信中稳定性的平衡问题等，需进一步通过深入研究来逐步解决这些难点。
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