数学素养的内涵与培养：来自PISA的启示
【摘 要】在众多关于“数学素养”的概念界定中，PISA的界定具有较为广泛的影响。它强调现实社会是学生数学学习的背景，数学学习的目的是使学生未来生活得幸福。PISA将数学问题设定为四种情境——个人情境、学校情境、公众情境、学术情境，特别重视学术情境而忽视个人情境是我国数学教育的一种传统。从学校数学教学的角度看，要培养学生的数学素养，需要加强数学教学与生活情境的结合，营造数学学习文化场，改革数学教育评价体系。
【关键词】PISA 数学素养 生活情境 文化场 评价
“数学素养”一词不见于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在前言中明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”这不止是一个遣词造句的变化，还反映了数学教育观的又一次蜕变，是新课改以来我们对数学教育的认识不断深化的结果。
一、PISA对数学素养的界定
《现代汉语词典》的“素质”词条的第二条释义即为“素养”。全面发展学生的素养是素质教育的应有之义。进一步地，发展学生的数学素养是全面实施素质教育的必然要求，是素质教育精神在数学教育上的具体落实。2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》就明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。”普通高中数学课程应“在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养”。《普通高中数学课程标准（实验）解读》更进一步地指出：“基础教育数学课程的基本目标就是要提高学生的数学素养。”
那么，数学素养指的是什么呢？新课标没有专门的表述。对此，不同的人有不同的理解。PISA所作的界定具有较为广泛的影响，对我们理解数学素养的内涵具有积极的借鉴意义。
PISA（The Programme for International Student Assessment）是世界经济合作与发展组织自2000年起对其成员国和部分非成员国进行的一项国际性的学生素养评价研究项目。该项目主要对接近完成基础教育的15岁学生进行评估，评价他们有关现实生活和终身学习所必需的知识、技能等的掌握情况，具体分为3个领域：阅读素养、数学素养及科学素养。其对数学素养所作的界定是：数学素养是个体认识理解数学在现实社会中所起作用的能力，作出有根据的数学判断的能力，以及作为一个有独创精神、关心他人、有思想的公民参加数学活动以满足现实和未来生活需要的能力。这一界定不仅突出了现实社会是学生数学学习的背景，而且强调了数学学习的目的是使学生未来生活得幸福。
二、PISA界定的积极意义
PISA界定的积极意义就在于：它将数学素养与学
生的个人生活、未来职业生活、社会生活紧密联系起来了，并且始终强调要让学生在不同的背景下参与数学活动、运用数学和做数学。事实上，学生在处理那些可以应用数学知识解决的问题时，对数学方法的选择往往取决于问题出现的情境。为了便于研究和操作，PISA将求解的问题设定为四种情境，即个人情境、学校情境、公众情境和学术情境。距离学生最近的情境就是他们的个人生活，其次是学校生活，然后是日常生活中遇到的社会生活，最远的是学术情境。
对照PISA设定的四种情境，我们可以发现：我国数学教育具有特别重视学术情境而忽视个人情境的传统。在教材编写上，体现为特别重视知识的逻辑性和严谨性，知识呈现的情境过于简单，问题都结构良好，缺少开放性。在教学观念上，秉持“熟能生巧”的教育古训，将“巧”的出现建立在对“熟”的训练之上，解题活动沦落为“对号入座”的行为——遇到问题首先想到的就是从大脑中搜寻既有的解题方法，然后立即套用上去，忽视了学生根据具体情境灵活运用知识和技能创造性地解决问题的能力的培养。教学行为往往“直奔主题”，小组探究、课堂讨论、实际操作、让学生充分表达自己的意见等环节都被视为是在浪费时间而被尽量压缩。有时怕学生“绕弯路”“掉陷阱”，常常先打上一针“预防针”。为了在应试中取得好成绩，教学就追求学生做题的快速、准确，很多教师都会要求学生储备一个较大的“数据库”（如记忆11～20的平方数等），以便直接写出计算结果。在评价上，一张试卷决定学业成绩，考试成了区分学生的“筛子”，而不是作为一种促进他们学习的手段。在教学管理上，一个地区的教学进度整齐划一。
应该说，随着课改的深入，我们许多传统的做法正在被新的观点、新的理论所重新审视、解读、诠释、改造和完善，许多积极的因素被挖掘出来，许多弊端正在被克服。
三、学生数学素养的培养
学生数学素养的培养是一项涉及甚广的工程，需要教师和教育管理者更新数学教育观念并跟进教学行为。从学校的数学教学角度来看，要特别关注以下几个方面。
1.加强数学教学与生活情境的结合。
小学生的数学学习刚刚起步，许多学习内容都是一些最基本的“起始概念”，难以借助于别的概念进行理解，而只能借助于学生已有的相关经验或“前概念”。一旦学生因数学知识的抽象性而难以理解时，就需要教师利用生活中类似的事例和道理进行启发。例如，教学“平行线”这一内容时，教师往往利用两个平行的事物——黑板的上下两边、两条直的铁轨等来进行概念解释。
现实生活不仅有助于学生理解数学，而且生活介入数学学习活动后，往往会使问题情境变得综合起来，这也就为学生的数学学习提供了更为丰富的资源，可以更加全面地培养学生多方面的数学素养。例如，我们可以为学生设计一个“设计小区停车位方案”的专题研究活动，在这样一个问题背景模糊，问题解决方式、途径和具体办法具有开放性和不确定性的问题解决过程中，学生需要用到计算、几何、统计等多种数学知识，要涉及多种问题解决策略，还需要和同伴们合作研究，进行调查、实地勘测等实践。这些必然会使学生的数学学习与生活结合得更为紧密。
当学生的数学学习与其生活高度结合时，我们要关注他们的数学学习的“数学化”问题。所谓数学化，就是指创造性地将数学知识和技能应用于各种情境，实现情境问题向数学知识的转换，进而解决问题。数学化的过程包括以下五个步骤：从现实中的问题开始；根据数学概念形成数学问题，识别相关数学知识；通过假设普遍化和正式化等数学过程逐渐转换现实问题；解决数学问题；从现实情境的角度理解数学解决方法，包括识别问题解决的条件。数学化是培养学生数学素养的核心过程，生活化能为学生更好地数学化提供素材和载体。
2.营造数学学习文化场。
PISA界定的数学素养的实质是三种能力，即学生认识、理解数学在现实社会中所起作用的能力、作出有根据的数学判断的能力和作为一个有独创精神、关心他人、有思想的公民参加数学活动以满足现实和未来生活需要的能力。显然，这些能力的培养不是仅靠课堂教学这一狭窄的路径所能实现的，需要营造一个包括学生个体在内的数学学习文化场，利用文化场的力量全方位地进行渗透。
具体而言，就是学校要对数学学习活动作系统的思考，有机地落实在多种学校生活之中。许多基层学校在这方面进行了丰富多彩的探索，例如江苏省常州市怀德苑小学的做法是搭建三个“平台”——一报、一节、一网站。
一报指《怀德数学报》。该报报名由著名数学家王元题写，每周一期，至今已出版200余期。数学报报道学生“爱数学之情，学数学之得，用数学之乐，玩数学之趣”，成为培养学生数学素养的重要阵地之一。
一节指数学节。学校创立数学节，每年举办一次。由最初的“几个一”活动到如今的聚焦主题活动，数学节真正达成了“以数学为核心，彰显各门学科的整合；以活动为载体，培养应用知识的能力；以文化为内涵，提升学生的数学素养”的目标。
一网站指数学网站。网站栏目丰富，由“亲近数学”“数学乐园”“数学闯关”“口算英雄”等板块组成，融数学性、知识性、趣味性、教育性和娱乐性为一体，面向全体学生。其中“数学闯关”分设三至六年级四个关区，闯关题与该年级的《思维体操》教材内容相配套，为互补关系，让学生在游戏中巩固提高。
3.改革数学教育评价体系。
数学教育的评价对数学素养的培养具有导向和激励作用。从PISA界定的数学素养出发，中小学校的数学教育评价必须在评价目的、标准、主体、方式、手段等多方面进行改革。
首先，评价的目的应由单纯的促进学生的数学学习转向促进人的发展。学好数学并不是目的，通过数学学习让学生生活得更美好才是根本的目的。因此，评价不仅要杜绝以数学考试分数来筛选学生的行为，还要超越就数学论数学学习的局限，要指向全体学生的数学学习兴趣的培养、自信心的增强，提高学生数学学习生活的品质；既要关注学生普遍的数学学习状况，还要关注学生的个性化发展。
其次，评价标准必须兼顾数学知识应用的合规律性和合道德性。不但要注意考查学生对学校数学课程内容的掌握情况，更要重视他们在不同的问题背景下对所学数学知识与技能的灵活运用能力；既要评价学生对问题解答的正确性，又要关注学生对问题的理解和不同的解决途径。同时，还要考虑问题的解决是否满足具体情境中他人的需要。简言之，就是要看学生对数学知识恰当而正当的使用情况。恰当是指对数学知识运用的合规律性，正当则是指问题解决的合道德性。这两方面的需要决定了评价的开放性和社会性。
再次，在评价方式上要高度重视过程性评价。学生数学素养的形成是一个持续的过程，评价应以过程性评价为主。学校可以通过建立“学生成长记录袋”来进行，内容包括学生的数学学业记录、在日常生活中发现的数学问题、解决问题的方案和过程、数学活动报告或数学小论文、最满意的作业、单元知识总结和自我评价、收集的数学资料等。过程性评价大多属于定性评价，定性评价要和定量评价有机结合。现有的数学考试基本上属于定量评价，即以分值来衡量学生的学业水平。在设定实际的试卷评分标准时，往往会出现一种不良倾向，那就是过于注重全面性而导致核心因素被弱化。例如，在制定解决问题类题目的评分标准时，往往将问题的解法、计算的正确性、答句的完整程度、单位名称是否遗漏，甚至书写的工整程度都纳入其中，给予一定的分值，致使核心的解题方法赋值过少。
最后，在评价主体上提倡共同参与。现在的评价主要由教师作出，致使评价视角单一。要重视学生自我和相互的评价，还可以将学生家长乃至数学家、数学教育专家请到学校，共同参与学生数学学习活动的评价。笔者曾参加过某小学的一次数学小论文答辩会，学生对专家评委们的问题作了精彩的回答，而专家评委们的不同视角的问题和点评不但考察了学生的数学素养，而且完善和引领了他们的数学学习。
【参考文献】
[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.
[2]OECD.Assessing Scientific，Reading and Mathematical Literacy：A Framework for PISA 2006[M].Paris：OECD，2006.
[3]张景斌，彭刚.PISA对我国数学教育评价改革的启示[J].数学通报，2004（8）：1-3.
（作者单位：南京市天正小学）
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