高等数学实验教学的设计与研究
【摘要】基于高等数学教学改革以及素质教育的要求，说明了开展高等数学实验教学的必要性，研究了高等数学实验教学设计与实施方案，针对实验教学中的具体问题进行了思考.
【关键词】高等数学；数学实验；教学模式；素质教育
数学实验是在高等数学教学改革和素质教育的形势下提出的将数学知识、数学建模与计算机应用三者融为一体的教学模式.开展高等数学实验教学，适应21世纪人才培养对高等数学教学的新要求.
一、高等数学实验教学的必要性
在高等数学的完美公理体系下，发现问题、处理问题、解决问题的思维轨迹常被掩盖，学生在学习中感到被动.数学实验抛开抽象的数学定理、公式的证明，利用可操作的程序，使学生在自己的探索实践中体验数学思维轨迹，对数学现象进行观察、研究和分析，从而发现数学规律，建立数学模型，完整地模拟一个基本数学问题的解决.这不仅加深了对理论知识的理解，而且也培养了学生独立思考并解决问题的能力.同时，随着现代科学技术的发展，大量新兴的数学方法在科学研究和生产管理等领域中被成功地应用，利用数学实验这种方式可以培养学生应用数学的能力.所以，数学实验能使学生更好地掌握数学知识，有利于培养学生的创新思维能力和数学实践能力，提高学生的数学素质及综合素质.
二、高等数学实验教学的设计与实施
1高等数学实验教学的基本原则
在高等数学教学中，理论教学强化数学概念与定理的讲授，而实验教学则侧重于学生应用数学的能力、数学软件的操作能力以及创新能力的培养.教师应将实验教学与理论教学融为一体，针对教学相关内容选择实验内容，将实验作为辅助教学手段，帮助学生更好地理解所学理论知识.教师在设计实验时，应以循序渐进为原则，涉及的数学知识尽量不要超过学生学习的范畴，实验尽量与专业相关，具有一定的实际背景和应用价值，让学生在实验中体会到理论和实践的相互作用.随着课程的深入，应逐渐增加案例的深度，实验要具有一定的开放性，让学生逐步学会从实际问题中提炼出数学模型.高等数学实验教学强调以“学生为主、教师为辅”的原则，学生对问题进行分析思考，独立地利用计算机去编程、计算，教师只起着组织和指导的作用，这样才能使学生体验问题解决的全过程，从实验中探索数学的规律性.
2高等数学实验教学设计
（1）软件条件
开设以算法设计、数据处理和初步的数学建模为主体的高等数学实验课，首先应选择合适的、功能齐全的数学软件平台.应用较多的是Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica软件，其中，Mathematica把数值和符号运算结合起来，可以方便地作出函数的图形，具有安装快、启动快的优点，比较适用于高等数学的实验教学.
（2）编写高等数学实验教材
我校高等数学实验课程尚属建设阶段，现用的数学实验教材并不适用于计算机基础知识及高等数学知识较为欠缺的大学一年级学生.为此，一方面，我们在自编高等数学教材中，针对具体内容，如函数的极限、导数、微分、积分、函数作图以及微分方程求解等，穿插Mathematica编程计算的内容；另一方面，我们还编写了适用于一年级学生的《高等数学实验》讲义，它主要包括Mathematica软件速成及八次（16学时）实验两部分内容，其中第一部分比较系统地介绍了Mathematica软件的常用方法，第二部分的每次实验都有完整的实验内容、步骤及练习思考，有效地保证了高等数学实验教学的顺利进行.
（3）高等数学实验教学内容
高等数学实验分为基础实验、探索性实验和综合实验三个部分.基础实验主要包括计算、验证、演示和模拟实验.其中，计算实验可以通过数学软件求极限、导数和积分等.验证试验可以实现数学定理、公式的计算机证明，例如验证两个重要极限及牛顿—莱布尼茨公式等.演示实验可以直观地演示各种静态和动态的图形，将难以讲解的数学规律呈现出来.模拟实验可以模拟一些数学概念的形成过程和结果，使数学变得具体化，例如模拟数列和函数的极限等.探索性实验是让学生运用数学知识和实验知识，独立地研究一些与专业相关的小案例，设计算法，编制相应的程序来实现，从而体会其蕴含的基本数学思想和方法.综合实验是以高等数学为核心向边缘学科发展，可涉及微分几何、数值方法、数理统计、组合与图论、微分方程、运筹与优化等.具体以学生的专业为背景，设计一些综合的实际应用型案例，其内容可以取自科学研究中的基础问题和工业、农业、工程、经济、军事、管理、生活等各领域的实际问题，选择时应遵循可接受性、实用性、开放性等原则，让学生体验数学实验的全过程.
利用Mathematica软件，结合自编的高等数学教材和讲义，我们在高等数学教学中安排了八次实验，共16课时，分两个学期开展.实验一介绍数学软件的使用方法，然后介绍一元函数的作图方法、求函数值、方程与方程组的解法、不等式与不等式组的解法等等.实验二介绍用数学软件求极限、无穷小的阶、函数的导数、函数的微分以及函数的极值等.实验三介绍用数学软件进行函数的积分运算和求微分方程的解，并掌握用定积分和微分方程解决实际问题的方法.实验四结合前面的理论知识及实验，给出几个小案例，教师分别阐述背景知识，让学生利用已有的数学知识和数学软件，自己编程，提出问题的解决方案.实验五用数学软件演示多元函数作图，介绍如何求偏导数、全微分，演示曲面及其切平面，讨论多元函数的极值、二重积分.实验六介绍如何计算三重积分、曲线积分和曲面积分.实验七介绍级数的运算、级数的收敛性和函数的逼近.实验八属于探索性和综合性实验，通过前期的积累，教师给出实际案例，让学生独立思考，解决问题.同时，结合学生的专业背景，讨论近年来数学建模培训及竞赛的相关选题，让学生体验从实际问题建立数学模型，然后利用数学实验方法解决问题的过程，将数学模型教学进一步融入高等数学理论教学中.这八次高等数学实验课，既实现了对高等数学理论教学的有益补充，又培养了学生的实践能力，基本满足了高等数学理论课与实验课的教学要求.
3高等数学实验教学的实施
数学实验教学模式是以问题为载体、以计算机为手段、以软件为工具、以学生为主体的一种创新教学模式.高等数学实验教学模式主要有两种，一种是将数学实验融入高等数学的教学之中；另一种是单独开设数学实验课，进行系统的讲解和上机实验.无论是哪种模式，基本都包括以下环节：
（1）教师通过计算机演示实验目的，并提出实验课题.
（2）教师讲解实验中问题的背景、相关的数学理论和实验方法.
（3）组织学生分组讨论，学生通过自主探究和协作学习，设计求解的方案，探讨解决问题的数学模型和算法，并进行讨论交流.
（4）在教师的指导下，利用相关的数学软件或通过计算机编程进行计算，对所得数据进行分析，找出可能存在的规律，并给出严格的论证，完成相应的实验报告或实验论文.实验报告是实验的成果体现，它包括实验目的和要求、实验内容、实验方法和步骤、数据记录和分析、实验结果的分析和总结以及教师评价等内容.实验论文类似研究论文，包括题目、摘要、正文、参考文献等部分.基础实验一般采用实验报告的形式，而综合实验则以实验论文的形式为主.
4高等数学实验课的考核
为了确保高等数学实验课的教学效果，课程结束时可对学生进行适当的考核.实验课的考核可与理论课的考核相结合，占该课程总成绩的15%左右.实验课的考核成绩以学生提交的实验报告和实验论文为主，学生的每个实验都由任课教师依据“真实性、知识性、实践性、创新性”这四个方面综合给出成绩，试验总成绩根据每个实验的成绩平均得出.高等数学考核方式的改革更加重视知识的实际运用能力，符合素质教育对高等数学教学模式改革的要求.
三、结 语
高等数学实验课为学生创造出一个科研工作的模拟环境，培养了学生的创新意识和实践能力，提高了学生的综合素质.高等数学教师需要有扎实的数学理论基础，并掌握几种常用的数学软件.教师应进一步探索更加灵活的高等数学实验教学模式，鼓励学生针对自己感兴趣的数学问题设计实验，使实验课的内容更加生动，实验的方式更加灵活.同时，扩大高等数学实验的内涵，将实验课的教学模式引入到工科数学的其他课程，进一步完善工科数学实验教学体系，并逐步扩大范围，将数学实验课与大学生数学建模竞赛等活动有机结合，吸引更多的学生参与.这对提高教学质量、推动高等数学教学的全面改革、加强素质教育、培育复合型人才，具有十分重要的现实意义.
【参考文献】
[1]马新顺.在高等数学教学中引入实验课的实践[J].工科数学，2000，16（3）：87-88.
[2]费祥历.数学实验教材的比较研究与实践体会[J].高等数学研究，2004，7（3）：56-57.
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