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广义非线性轴向运动弦的参数分析

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The Parameter Analysis of an Axially Moving Nonlinear String

Zhang Xi

(Nanjing Agricultural University,Nanjing 210095,China)

摘要: 本文的研究对象是服从边界控制的非线性轴向运动弦。弦线的运动方程以及边界条件都是根据Hamilton原理得出的。Laypunov关于运动的稳定性理论,特别是他的“直接法”,为非线性系统的稳定性分析提供了一个有效且方便的工具,已经成为近代控制论的一个坚实的基础。

Abstract: In this paper, we address vibration suppression of an axially moving nonlinear string subject to the boundary control. The equation of motion and the boundary conditions are derived from Hamilton"s Principle. Lyapunov"s direct method provides an effective and convenient tool for the stabilization analysis of nonlinear and linear system.

关键词: 非线性运动弦 Hamilton原理 Lyapunov直接法

Key words: nonlinear axially moving string;Hamilton"s Principle;Lyapunov"s direct method

中图分类号:G42 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2011)14-0230-02

1物理背景及研究进程

动力传送带、磁带、纸带、纺织纤维、带锯、空中缆车索道、高楼升降机缆绳、单索架空索道等多种工程系统元件,忽略抗弯刚度时均可模型化为轴向运动弦,沿轴线方向平移、受较大轴向力作用而张紧的弦线。轴向运动弦线纵向振动及其控制的研究有着重要的应用价值。例如,在磁带装置中,振动导致信号调制和加速磁带磨损。又例如,汽车发动机的平带驱动系统中带的振动将产生噪声和影响发动机运转的平稳和可靠。同时,轴向运动弦线作为陀螺连续系统,其振动的激励响应关系、稳定性分析、数值仿真和控制系统设计等也提出若干重要的理论问题。轴向运动弦线纵向振动分析和控制已成为一个较为活跃的研究领域。

1.1 轴向运动弦线的线性振动轴向运动弦线纵向振动的研究起源于1987年Skutch的工作。轴向运动弦线纵向位移较小时,可采用线性振动模型。主要研究内容包括自由振动的固有频率和本征函数,受破振动的稳态和瞬态响应,受较复杂约束弦线和弦线与其他元件耦合的振动,轴向张力涨落和轴向运动速度变化导致参数振动的稳定性等。

轴向运动弦线纵向线性振动研究的一个特殊方面是运动过程中能量变化的分析。在忽略阻尼的情形,轴向静止的振动弦线机械能守恒,而轴向运动弦线的机械能周期性变化。Lee和Mote进行了更一般的分析和数值验证。Renshaw等对能量关系进行了更准确的阐述,并定义了一个在振动过程中的不变量。能量及守恒量的研究为稳定性分析及其控制系统设计提供了依据。

1.2 轴向运动弦线的非线性振动1966年Mote首先研究了轴向运动弦线的非线性振动问题。轴向运动弦线非线性振动研究的早期工作主要集中于说明线性振动模型的局限,并采用非线性模型修正数量关系和解释非线性现象。近期工作主要是发展直接应用于非线性偏微分方程的近似解析法,研究黏弹性弦线和具有耦合的复杂问题。

轴向运动弦线的线性振动模型局限性及非线性模型的必要性由早期一系列工作所揭示。就数量关系而言,线性振动理论得到的幅频响应等结构不适用于纵向位移较大或轴向速度较大的情形,而必须加以修正。就定性现象而言,只有非线性振动理论才能解释实验中出现的跳跃现象和空间的回旋运动。

本文中,我们的研究对象是服从边界控制的非线性轴向运动弦,通过构造出一个能量方程,得到了这样的结论:只要在弦线的末端施加反馈,就可以保证弦线的运动是指数稳定的。

1.3 轴向运动弦线纵向振动的控制基于偏微分Laplace变换的频域分析是研究分布参数系统控制的有效方法。Yang和Mote将频域分析方法应用于轴向运动弦线的主动控制。他们导出包括受控弦线、反馈控制律、作动器和传感器动力学的闭环系统的传递函数,通过传递函数根轨迹图的分析建立了稳定性条件和不稳定性条件;根据这些条件分析了有一个作动器和一个传感器的控制器设计中作动器和传感器的防治问题,共置作动器和传感器可以镇定所有模态的振动,避免溢出不稳定,没有时间延迟的分置作动器和传感器将导致无穷多不稳定模态,有时间延迟的分置作动器和传感器将在特定条件下可以镇定所有模态的振动;最后基于传递函数和Laplace逆变换得到受控弦线对周期外激励的稳定响应。Yang和Mote将这种控制方法推广到一般的柔性机械系统,并对轴向运动弦线的情形进行了实验验证。频域分析不仅可应用于轴向运动弦线的控制设计,而且可应用于振动分析。Tan等用频域方法研究了平动弦线与液动力学轴承耦合系统的振动,在一种液动力学抽成力模型上通过导出传递函数得到了系统的频率响应。Yang和Tan等应用传递函数分析分布参数系统尤其是受约束情形的自由振动和受迫振动,并分别讨论了受弹簧约束和在部分弹性基础上轴向运动弦线的振动。

2参数分析

2.1 Lyapunov直接法在控制系统的设计中,人们首先关心的是系统的稳定性问题。不解决系统的稳定性,就谈不上系统的其他品质指标。对于线性时不变系统,稳定性问题已经得到完善的解决。但对于非线性系统,分析系统的稳定性是一个困难的任务。即使一些时变性系统,虽然也有相应的稳定判据,但这些判据在工程设计中很难使用。在现实的工业控制场合中,人们遇到的自动控制系统几乎都是非线性的。我们平常所说的线性系统,事实上都是非线性系统的一种理想化或近似的表达。从最平常的例子看,任何一个实际工作的系统,其部件不可避免地总存在如饱和、死区、磁滞、摩擦等常见的非线性特性。随着自动化程度的提高,对控制系统的品质要求也日益提高。有时还人为地引入各种非线性特性以改善系统品质。当然,在控制系统中存在的各种非线性特性,有本质非线性和弱非线性之分。实际上,人们并不是要回避非线性,恰恰相反,大部分均是为了利用非线性特性来设计一个比线性系统更为优良的控制系统。因此,非线性系统的稳定性研究不仅是理论上的兴趣,更重要的是要解决实际生产活动中所遇到的问题。

Laypunov关于运动的稳定性理论,特别是他的“直接法”,为非线性系统的稳定性分析提供了一个有效且方便的工具。此外,Laypunov直接法还渗透到近代控制理论的各个方面,象在最佳系统设计、滤波、识别以及自适应系统的设计中,Laypunov的理论都得到广泛的应用。可以说,Laypunov关于运动的稳定性理论已经成为近代控制论的一个坚实的基础。

定义2.1.1(K类函数)若函数?准∈CR■,R■,(这里R■=[0,∞))是连续的严格单调上升函数,且有?准(0)=0,则称?准是K类函数。

定义2.1.2(稳定性)称方程■=f(t,x)的平凡解是稳定的,若?坌ε>0,?坌t0∈I,?埚δε,t■,对?坌x■,当‖x■‖<δε,t■时,对一切t?叟t■,有‖xt,t■,x■‖?叟ε■。

Laypunov直接方法是整个稳定性理论的核心方法。这里以2维系统为例,说明Laypunov直接法如何借助一个V函数,利用方程右端的信息来探测解的稳定性的原始几何思想。首先考虑方程组:

■=f■x■,x■■=f■x■,x■,

其中f■,f■连续且f■(0,0)=f■(0,0)=0,保证解的唯一性。

设V(x)=Vx■,x■是K类函数,且V(x)∈C1,此方程的解x(t)=x■(t),x■(t)■的信息是未知的,但它的导数

■■,■■=f■x■,x■,f■x■,x■的信息是已知的。

姑且把任意解x(t)代入V(t)得到V(t)=V(x(t))。平凡解的稳定性(包括渐进稳定、稳定、不稳定)是由解x(t)“走近”原点、“不远离”原点、“远离”原点来决定的,而这些信息分别等价于V(x(t))是t的下降、不增、上升函数。由于V∈C1,后者又分别等价于■<0,■=0,■>0。而

■=■■■=■■f■x■,x■=gradV·f<0,θ>■=0,θ=■>0,θ<■

其中θ为向量■与f的夹角。

而最后的表达示已不依赖于方程的解x(t)的信息,仅依赖于所构造的V和给定的向量场f,这就是Laypunov直接法的原始几何思想。

2.2 Hamilton原理人们为了追求自然规律的统一、和谐,按照科学的审美观点,总是力图用尽可能少的原理去概括尽可能多的规律。牛顿提出的三个定律,是力学的基本原理。由这些基本原理出发,经过严格的逻辑推理和数学演绎,可以获得经典力学的整个理论框架。Hamilton原理是分析力学的基本原理,它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来。也就是说,由它出发,亦可得到经典力学的整个框架。

Hamilton原理是理学中的积分变分原理。变分原理提供了一个准则,使我们从约束许可条件下的一切可能运动中,将力学系统的真实运动挑选出来。变分原理的这一思想,不仅在力学中,而且在物理学科的其他领域中,都具有重要意义。

自变量为x的函数表示为y=y(x)。函数的微分dy=y′dx是由自变量x的变换引起的函数的变化。

函数的变分也是函数的微变量,但它不是因为自变量x的变化,而是由于函数形式的变化引起的。这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分,记作δy。

在分析力学中,由s各广义坐标q1,q2,…,qs组成的s维空间称为位形空间。系统某一时刻的位形与该空间中的一点相对应。当位形随时间变化时,位形点就会发生变化而形成一条曲线。用位形空间研究完整系的运动,不用顾及约束对系统运动的影响。因为空间由s个广义坐标轴组成,每一个广义坐标都可以自由变化。位形空间中的任何一条曲线,都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程。

设qα=qα(t),α=1,2,…,s代表系统的真实运动,则由它们决定的曲线称为真实运动曲线。由于函数qα=qα(t)形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线。

Hamilton原理是分析力学中的积分变分原理,它巧妙地运动泛函求极值的方法,将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来。

首先,定义一个称为作用量的泛函,S=■Lq■,■■,tdt,式中L称为拉格朗日函数,定义为,L=T-V,其中T是力学系统相对惯性系的动能T=Tq■,■■,t;V=q■,t是势能。拉格朗日函数是q■,■■和t的函数,

即L=Lq■,■■,t。

假定位形空间中有两个固定点A和B,与A点相对应的时刻是t■,与B点相对应的时刻是t■。两个固定点之间,存在着由q■=q■(t),α=1,2,…,s决定的真实曲线。两固定点A,B间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线,它们是由■■=q■+δq,α=1,2,…,s和δq■■=δq■■=0,α=1,2,…,s决定的。

作用量是依赖于函数q■(t)的泛函。在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道,其中有一条是真实的。Hamiltom原理就是通过变分法中求泛函极值的方法,将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的。

Hamilton原理的数学表述为:在位形空间内,当δq■■=δq■■=0,α=1,2,…,s,时,对于受完整运输的有势系,其真实运动使δS=δ■Lq■,■■,t=0。如果确定了拉格朗日函数,则通过Hamilton原理,就可导出力学系统的动力学方程。

2.3 Gronwall不等式著名的Gronwall不等式无论在理论上还是在应用上都占有十分重要的地方和广泛的应用前景。对非线性微分方程初值问题,非线性Volterra积分方程的研究,在作先验估计和非紧性测度的估计,证明解的唯一性以及解对初值的连续依赖性,都要用到Gronwall不等式。该不等式曾出现过各种推广形式和不同的证明方法。为研究诸多数学问题提供了一个很好的工具。直至现在仍有很多文章在研究它。

参考文献:

[1]陈立群.轴向运动弦的纵向振动及其控制.力学进展,2001.

[2]匡继昌.常用不等式.山东科学技术出版社,2004.

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