聚焦一道与外心有关的向量题

过点O作OP∥AC，交直线AB于点P，作OQ∥AB，交直线AC于点Q.

设线段AB的中点为M，则OM=√AO2-AM2=72√3

在Rt△OMP中，∠OPM=60°，PO=OM

sin∠OPM

小结解法2利用平行四边形法则和正弦定理，通过寻找线段的比例关系解题.

（解法3）以点A为原点，以线段AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可知点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（-1

小结解法3通过建立平面直角坐标系，使数量关系更加明晰，思维过程比较简单.

利用解法3的解题思想，将问题进行一般性讨论，可以得到下面的结论.

结论1设点O是△ABC内的任意一点，则S△BOC·

OA

证明：以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，并设点A的坐标为（p，0），点B的坐标为（qcosα，qsinα），点C的坐标为（rcosβ，-rsinβ），∠AOB=α，∠AOC=β.

=0.

利用这个结论，可以得到例题的解法4.

（解法4）令AC=b，AB=c，BC=a.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos 120°，即a=7

√

小结利用结论1和结论2，通过讨论和推理，我们还可以得到如下一些实用的结论.证明过程省略.

结论3若点O是△ABC的内心，则S△BOC∶S△AOC∶

S△AOB=a∶b∶c，a·OA

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