关于三角形的一个性质的讨论

我们知道，任意三角形都有内切圆与外接圆．那么，对于不同类型的三角形，其外接圆与内切圆的半径的比值有什么特点？反过来，如果已知一个三角形的外接圆与内切圆的半径的比值，那么是否可以唯一地确定该三角形的形状？本文将就以上两个问题进行讨论．

结论1：任意三角形的外接圆与内切圆的半径的比值不小于2，若比值等于2，则该三角形一定是等边三角形．

证明：令任一△ABC，设其三边长分别为a，b，c，其面积为S，其外接圆和内切圆的半径分别为R，r． 根据三角形与其外接圆的关系，有S＝，则R=． 再由三角形与其内切圆的关系，S＝r（a+b+c），有r=，则=，由海伦公式，三角形面积S＝，将其代入前式得，=，不失一般性，假设a所对应的为三角形的最长边，则abc-（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）=abc-［a2-（b-c）2］（b+c-a）

＝abc-［-a3+（b+c）a2-（b-c）2（b+c-a）］＝a3-（b+c）a2+abc+（b-c）2（b+c-a）＝a（a-b）（a-c）+（b-c）2（b+c-a）≥0

故可得，=≥2，等号成立当且仅当abc-（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）=0，即a（a-b）（a-c）+（b-c）2（b+c-a）＝0，即a＝b＝c，说明该三角形为等边三角形，结论得证．

结论2：直角三角形的外接圆与内切圆的半径的比值不小于1+，等号成立当且仅当该直角三角形为等腰直角三角形．

证明：在△ABC中，∠B=90°，I为内心，P，Q，R为切点，不失一般性，设IP＝r=1，CP=d，=k，则AC＝2R＝2k，由勾股定理，（1+d）2+（2k-d+1）2＝（2k）2，整理得，k==（d-1+）+1． 由于在直角三角形ICP中，∠ICP＝∠ACB＜45°，故∠ICP＜45°＜∠CIP，继而推得，IP＜CP，即1＜d，由均值不等式k==（d-1+）+1≥·2+1＝1+，等号成立当且仅当d-1＝，即d＝1+，此时AB＝2R-d+1＝2+＝1+d＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，结论得证．

值得注意的是，若任意一个三角形的外接圆半径与内切圆半径的比值等于1+，那么该三角形未必是等腰直角三角形，它可以既不是等腰也不是直角三角形． 例如，三边长分别为1，1，2-的三角形，它就是一个外接圆半径与内切圆半径的比值等于1+，但不是直角三角形的例子．

结论3：任意钝角三角的外接圆与内切圆的半径的比值大于1+，反之不一定成立．

证明：如图2所示，不失一般性，在△ABC中，令∠A为钝角，O为△ABC的外心，K为的中点，过B，K作圆O的直径BD，KE． I1，I2，I3分别为△ABC，△ABD，△ABE的内心，r1，r2，r3分别为△ABC，△ABD，△ABE的内切圆半径，不难验证，I1，I2，I3均落在以K为圆心，KA为半径的圆上． 由∠ABC＝180°-∠A-∠ACB＝180°-∠A-∠ADB＜180°-90°-∠ADB＝∠ABD，故＜，∠I1KA＜∠I2KA. 又因BD，KE皆过点O且B，D，K，E，O互异，所以K，E在BD的两侧，故∠ABD＜∠ABD+∠BDE＝∠ABE，＜，∠I2KA＜∠I3KA，又∠I3KA＝∠ABE＜90°，且I3K⊥AB，故r1＜r2＜r3，令R为圆O的半径，则＞． 由于△ABD为直角三角形，由前述结论2可得，≥1+，故＞≥1+． 得证．

该结论之所以反之不一定成立，是因为由＝，若取a，b均为很大的数（如a＝b＝10000），而c（如c＝1）为较小的数，那么就会构造出一个比值很大，但却是锐角三角形的例子．

结论4：若一个三角形的外接圆与内切圆的半径之比小于1+，则该三角形为锐角三角形．反之不一定成立．

证明：由结论2，若＜1+，则必不为直角三角形． 由结论3，钝角三角形的＜1+，故三角形的若小于1+，则必为锐角三角形．反之，一个锐角三角形有可能是两腰很长的等腰三角形，从而使得＜1+，结论得证．

结合上述四个结论，我们就可以根据三角形的比来判断三角形的形状：（1）若＝2，则一定为等边三角形；（2）若＝1+，则一定为等腰直角三角形；（3）若2＜＜1+，则一定为锐角三角形；若＜1+，则三角形可能为直角三角形、钝角三角形或者“狭长”锐角三角形．

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