大卫•李嘉图比较优势原理的一般性证明

摘 要：由李嘉图提出的比较优势原理成为国际贸易理论的奠基石，其讲述的国际分工理论也可以用以探讨一般性的分工问题以及市场交易问题。然而对于该理论的证明，无论是李嘉图本人，还是后来的教学中，都只是采用举例的方式，并没有一般性的严格的数学证明过程。本文以两个国家两种商品为例，以一般性变量代替传统的数字举例，用不等式和线性规划的方法对证明了比较优势存在的条件，并对其本质进行了简要说明。

关键词：比较优势原理；国际贸易；国际分工；线性规划

1871年，大卫·李嘉图在其经济学巨著《政治经济学及赋税原理》中提出了著名的比较优势原理（Law of Comparative Advantage）。该理论认为，国际贸易的基础是生产技术的相对差别（而非绝对差别），以及由此产生的相对成本的差别。每个国家都应根据“两利相权取其重，两弊相权取其轻”的原则，集中生产并出口其具有“比较优势”的产品，进口其具有“比较劣势”的产品①。比较优势贸易理论在更普遍的基础上解释了贸易产生的基础和贸易利得，大大发展了绝对优势贸易理论。该理论成立需要诸多很强的假设，其中的第一条假设就是贸易中只有两个国家和两种商品②，通常将该条件下的模型称为2-2模型，而扩展过后的3-3模型则相对更为复杂，但其结论是类似的。而在现实国际贸易中，生产要素和贸易商品的种类诸多，但本质上仍然遵循着比较优势原理，只是对该原理的实证检验将显得愈加困难。由于2-2模型理解起来比较容易，因此无论是李嘉图本人在提出比较优势类终结绝对优势时，还是后人在阐述该理论时，都往往是采用2-2模型，并且用一种举例的方式进行论证。这种论证方法虽然简洁易懂，但是缺乏严格的数学逻辑，而看上去似乎是一种特定巧合，让人难以信服。当两国在两种商品的生产成本上不存在对比度上的差异的时候，即为等优势或等劣势贸易模型（Equal Advantage or Equal Disadvantage Model）时，比较优势理论就出现了理论分析上的死角，其提出的“两优择其甚，两劣权其轻”也不再发挥作用。即如下情形：

A国B国

C商品13

D商品26

鉴于此，笔者仅以2-2模型为例，试图通过将举例中的数字用一般性的变量代替，推导比较优势成立的条件，并用线性规划的方法进行阐释，以期对比较优势原理进行更一般性地证明。

一、一般性的2-2模型

2-2模型是指世界上只有两个国家，他们只生产两种产品并进行贸易。假设两个国家分别为A和B，两国生产两种产品i和j。生产要素只考虑劳动，其禀赋用时间小时数来衡量。假设A国拥有的劳动量为m小时，B国拥有的劳动量为n小时。另设A国产品i的生产效率为每小时a单位，j产品的生产效率为每小时b单位。如果用于生产i产品的劳动量为x小时，那么生产j产品的时间就为（m-x）小时。同样，假设B国生产i产品的效率为每小时a*单位，而j产品的效率为每小时b*单位，设用于生产i产品的劳动量为y小时，则生产j产品的时间为（n-y）小时。以上变量列示如下：

二、证明过程

为了接下来的分析简便起见，我们假设m=n=10③，那么当前的世界产量为：

产品i：ax+a*y

产品j：b（10-x）+b*（10-y）

在进行国际贸易之前，假设两国对两种产品都有需求，因此其产量都大于0，那么x和y的取值范围分别为0

产品i：ax0+a*y0=Zi

产品j：b（10-x0）+b*（10-y0）=Zj

要回答在什么条件下通过国际贸易对两个国家是有利的，实际上就是要证明在什么条件下，通过改变x和y使两种产品的新的世界总产量均大于贸易前的各自世界总产量Zi和Zj。这就如同金融工具中的利率互换协议（Interest Rate Swap），两家银行将各自具备利率优势的货币进行互换，在互换过程中实现共赢，然后在按照一定的比例将共赢的部分在两家银行间进行分配。因此，只要生产要素重新配置过后的产量超过之前的产量，那么将超过的部分按一定的比例在两国间进行分配④，那么对两国就是有利的。现在我们要确定在两国既定生产效率和生产要素的条件下，能够实现两种产品的产量都增加的条件是什么。

令：

ax+a*y>Zib（10-x）+b*（10-y）>Zj

通过变换我们可以得到：

y>-aa*x+Zia*y<-bb*x+10-Zjb*（a、a*、b、b*都是大于0）

下面用线性规划方法，在坐标系中用阴影区域（不包括实线部分）表示出以下不等式的解集：

0Zib（10-x）+b*（10-y）>Zj

由于不等式的系数用字母代替后会影响线性规划图的形态，因此需要进行分类讨论：（1）当aa*>bb*时，直线y=-aa*x+Zia*的斜率小于直线y=-bb*x+10-Zjb*的斜率，因此两条直线的相对位置呈现为图1的形态，而不等式的解集区域位于图1的右下部分的阴影区域。（2）当aa*

图1

图2

显然，在以上两种情况下，线性规划都存在公共区域，也即不等式存在解集。由于初始状态下两种产品都生产，因此两条直线又必然存在交点。要使解集不存在，只能是两条直线平行并且有焦点，即两条直线的重合。当aa*=bb*时，两条直线完全重合，因此公共区域不存在，也就是解集不存在。

综上所述，解集存在的条件是aa*≠bb*，也就是说进行国际分工并通过国际贸易能够实现共赢的条件是aa*≠bb*。而在aa*=bb*时，无论两个国家的劳动力如何在两部门之间分配，国际贸易都不可能同时增加两国的消费的商品组合。aa*和bb*是两国的两种产品的单位小时的生产数量之比，也可以理解为生产效率之比，即相对生产效率，这由生产技术决定。而如果把劳动时间作为唯一的投入，并且假设两国单位小时劳动时间的成本都一样，那么aa*和bb*也是两国的两种产品的生产成本的比较，即相对成本。这也就证明了李嘉图的比较优势原理，即“国际贸易的基础是生产技术的相对差别（而非绝对差别），以及由此产生的相对成本的差别。”而在1，32，6情况下，刚好就是处于aa*=bb*这个条件。因此，该证明方法也解释了等劣势贸易模型无法增加两国福利的原因。

三、进一步拓展

用线性规划方法，还可以确定在具有比较优势的情况下，两国如何进行分工并通过国际贸易才能互利，以及如何实现这种利益的总体最大化⑤。很明显，落在图中阴影部分中的点（x，y）就是能够实现贸易互惠的可行点，以此能够指导两国的分工。

当然以上证明过程中的假设是可以放开的，相关系数范围放宽为：

00 n>0

之所以都用不等号表示，是因为必须最初的假设：（1）两国拥有的劳动力不为0；（2）两国在进行国际贸易和分工之前对两种产品都有需求并且都有进行生产。

此外，理论上该方法可以进一步拓展至3-3模型以及更多维的模型，只是需要求解更多变量的不等式，用平面图的方法演绎则不再可行。而对不等式解集存在的讨论，可以通过数学推导进行。该思想方法也可用以探讨国内各个生产部门之间的生产分工，甚至揭示一些非生产性的交易行为存在的条件（如利率互换协议等）。显然，社会分工也是遵从比较优势原理，利用各自的相对技术优势而产生的相对成本优势生产相应产品，使分工后某些产品的总产出超出之前的各自都生产的社会总产量，再通过产品交易使整个社会都从中获益。因此，社会分工存在的条件本质上也可以理解为相对技术优势或相对成本优势的存在。（作者单位：中央财经大学政府管理学院）

注解：

① 李嘉图. 政治经济学及赋税原理 [M]. 光明日报出版社，北京：2009.

② 其它假设包括：1.两国在生产中使用不同的技术。技术的不同导致劳动生产率的不同进而导致成本的不同；2.在物物交换条件下进行，没有考虑复杂的商品流通，而且假定1个单位的X产品和一个单位的Y产品等价（不过他们的生产成本不等）；3.在两个国家中，商品与要素市场都是完全竞争的；4.在一国内要素可以自由流动，但是在国际间不流动；5.分工前后生产成本不变。6.不考虑交易费用和运输费用，没有关税或影响国际贸易自由进行的其他壁垒等。参见张碧琼，国际经济学原理[M].中国财政经济出版社，北京：2009.P7-8.

③ 其实， 与 的取值不一定要相同，只要满足非零，就不会影响接下来的证明过程。

④ 分工产生的增量产出的在各国间的分配，实际上是贸易条件问题，贸易条件的变化将决定在国际贸易和分工中谁受益更多，谁受益较少，但都是共赢的。因为理论上，只有当彼此福利都得到增进时，才有参与国际贸易和分工的动力。

⑤ 在假设两种商品有一定的可替代性的情况下，加入无差异曲线和消费效用函数分析，则该方法可以进一步扩展。

参考文献：

[1] 李嘉图.政治经济学及赋税原理 [M].光明日报出版社，北京：2009.

[2] 张碧琼，国际经济学原理[M].中国财政经济出版社，北京：2009.

[3] 束金龙，闻人凯，线性规划理论与模型应用[M].科学出版社，2003.

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