浅谈类比在中学数学中的应用

文章编号：1002-7661（2015）12-0070-02

所谓类比就是某种类型的相似性。对象A与A*可类比，意味着它们有某方面的相同或相似（或概念相似，或结构相似，或性质相似，地位相似，作用相似，甚至形式相似等等）。类比也叫类比推理，如根据带齿的草叶与带齿的铁皮结构相似，由前者能划破手指，推出后者能割断树木；根据正常人体构造相似，由甲的某些症状反映某种疾病，以及使用某种药物或方法可以治好的经验，推知乙的相似症状也反映同一种疾病，使用同一种药物或方法也能治好，等等，都是反映了类比推理的方法。在数学中，这种方法也是最常用、最有效的思维方法之一。

类比既是一种逻辑推理的方法，又是一种科学研究的方法，它是人们思考和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。飞机的发明，潜艇的制造等等，都有赖于仿生学，而仿生学的主要研究方法之一便是类比法。在数学中，常常由问题条件的相似，去猜测结论的相似；由命题形式的相似，去猜测推理论证的相似。

一、类比法的原则

1.类比的两个对象所具有的相似属性要足够多，这样就使两个对象在自然领域（属同种系统）中的地位也较为接近，这样去推测其他的属性相似的可靠程度较高，更合理。

2.类比的两个对象的相似属性是本质的，相互关联的，这种类比的可靠程度较高。

3.类比所根据的相似数学模型越精确，类比的可靠程度越高。因为只有在精确的数学模型之间作出类比，才能把其中相关的元素分别准确地对应起来，才能有效地作出新发现。

总之，类比的结果是猜测性的，不一定可靠。类比法是否成功，与知识是否丰富成正比。知识面越广，知识越丰富，则在数学思考中用作类比的题材也越丰富，形成普遍命题的机会也越多。

二、方法的应用

数学中的类比的出发点，是数学对象之间的相似性。而相似对象又是多种多样的，属性之间又有这样或那样的关系，因而人们所应用的类比方法也就有不同的类型。

1.降维类比

在中学范围内，降维类比通常是将三维空间（立体几何问题）类比到二维空间（平面几何问题），它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象：

直线……平面 平行四边形……平行六面体

角……二面角 矩形……长方体

三角形……四面体 圆……球

例1 空间不共点的四个平面，任何两个都相交且交线不平行，它们将空间分成多少部分？

解：类比到平面：平面上不共点的三条直线，任何两条都相交，则它们把平面分成如下几部分：1个有限区域（三角形的内部），6个无限区域，其中3个与三角形有一公共边，另外3个与三角形有一个公共点。从而把平面分成1+3+3=7部分。由此可知，四个平面将空间分成如下几部分：1个有限区域（四面体内部），其余都是无限区域，其中有4个与四面体共一个面，另有6个与四面体共一条棱，还有4个与四面体共一个顶点。因此它们被空间分成1+4+6+4=15个部分。

2.减元类比

当一个数学命题包含多个变元时，我们先去掉某些变元（但必须保持与原命题相似的结构），使问题得到简化，而简化了的问题的解决，常常是解决原来问题的先导。

例2 设a1，a2，…，an∈R，求证：a12+a22+…an2≥a1a2+a2a3+…ana1

分析：将变元减少到三个，得到类比题：a2+b2+c2≥ab+bc+ca其证明只需将三个同向不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca相加，类比到原题只需将n个同向不等式相加即得证。

（1）方法技巧的类比

在长期的解题实践中，每个人都积累有丰富的经验，即解题的方法与技巧。这些方法和技巧如果能巧妙地使用到合适的地方，将有很好的效果。

例3 解方程

此题用韦达定理比较简单，可把原方程组等价变换为一元二次方程t2-7t+12=0解得其两根为t1=3，t2=4。则原方程的解为，。

（2）结论的类比

在数学中有很多结论可用类比的方法扩展到其他分支和领域。如：

例4 设A、B、C为△ABC的三个内角。

求证：sin2A+sin2B+sin2C=4coscoscos

分析 这类问题一般是用和差化积的方法来证。如果注意联想到结论：

“若A+B+C= ，则sin2A+sin2B+sin2C=4coscoscos类比此结论可有如下简易解法：因为（ -2A）+（ -2B）+（ -2C）=

运用上述结论可得：

sin2A+sin2B+sin2C

=sin（ -2A）+sin（ -2B）+sin（ -2C）

=4coscoscos

=4sinAsinBsinC.

（3）思想方法上的类比

思想方法上的类比是一种高层次的类比，这将把我们带入一种较高的思维境界。

例5 如a1a2，…，an均为小于1的正数，且b1，b2，…，bn是它们的一个新排列，那么所有形如（1-a1），（1-a2）b2，…，的数都不可能大于。

分析 这种一般性的问题，我们可类比使用特殊化方法探路。

当n=1时，（1-a1）a1=-a12+a1=-（a1-）2+≤

为使用这一结论，再考虑类比使用整体思维的方法。

将所有的式子相乘，得

0>（1-a1）b1（1-a2）b2…（1-an）a1（1-a2）a2…（1-an）an≤（）n

如（1-ai）ai>（i=1，2，…n），则（1-a1）b1（1-a2）b2…（1-an）bn>（）n

从而引出矛盾，结论得证。

三、类比法的局限性

我们知道，事物之间的同一性和差异性是类比方法的客观基础，因此类比的结果具有或然性，结论就不一定正确。类比推出的性质是共同性结果就正确，反之遇到差异性结果就错误。所以类比法不能作为数学的证明方法。在利用类比法解题时，要始终注意以下三点：

1.类比是一种比较，但比较不一定是类比，因而类比是一种特殊的比较。

2.要尽量从事物的本质上进行类比，不要被表面现象迷惑。否则，只抓住一点表面相似甚至假象就类比，那就会犯机械类比的错误。

3.类比是一种似真推理，由类比得出的结论不一定正确，它必须用实践或演绎的方法加以证明。

（责任编辑 文 思）

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