规范理论一百年（上）
1918至1919年的一个错误理论开启了一个伟大征程，导致描述自然界三种基本力的理论框架，以及很多重要的物理学和数学成就。为这一征程做出贡献的很多物理学家与数学家获得诺贝尔物理学奖或者菲尔茲奖和阿贝尔奖。
1918至1919年的规范理论
1918至1919年，位于苏黎世的瑞士联邦工业学院的赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）发表了三篇文章，试图将电磁力纳入引力几何理论的框架（1-41。这就是规范理论的开端。外尔是20世纪最有影响的数学家之一。曾获得菲尔兹奖和阿贝尔奖的阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士曾经告诉笔者，外尔是他的偶像之一。
外尔的这三篇文章，以《引力与电》（Gravitationund Elektrizitat）一.文为主，该文发表于《普鲁士科学院院刊》。正是在这个杂志上，爱因斯坦1915年发表了引力的几何理论，也就是广义相对论，揭示了引力本质上是物质所导致的时空的弯曲。
1905年，爱因斯坦提出狭义相对论。闵可夫斯基注意到，狭义相对论将时间和空间统一为四维时空。十年以后，爱因斯坦的广义相对论指出，物质使得时空弯曲，弯曲时空又决定物质的运动。相对论是爱因斯坦最大也是最著名的贡献，但是他获得1922年诺贝尔奖主要是由于对光电效应的理论解释。为了领会时空弯曲的含义，让我们想象一个球面。在球面上的某一点放一个箭头，箭头从这一点指向某个方向。然后我们将箭头的底端在球面上移动，移动过程的每一个瞬间，都保持箭头方向不变，这叫平行移动。然而，对于有限长度（非无穷小）的移动，箭头方向却变了。我们可以让箭头底端沿着某个闭合曲线平行移动一圈，回到原来的位置，箭头的方向不再是原来的方向。这是球面弯曲所导致的。在弯曲时空里，道理与此类似，矢量的平行移动可能改变其方向，但大小不变。
当时人们了解到，自然界有两种基本力，除了引力，就是电磁力。所以外尔自然地想将电磁力（由电磁势决定）也纳入广义相对论的框架。他试图推广平行移动的观念，构想矢量平行移动时，不仅方向变化，大小也变化。对于无穷小的平行移动，矢量大小改变无穷小倍，外尔假設这个无穷小倍数正比于电磁势的无穷小改变。不难推导出，对于一个有限长度的平行移动，矢量大小就变成原来的大小乘以一个指数因子，指数正比于电磁势沿着路径的积分（即每一点的电磁势的累加）。这个改变矢量大小的指数因子依赖于平行移动所经过的路径，所以叫做不可积标度因子。这个结论很奇怪。在相对论里，尺子大小和时钟快慢都可以看成矢量的大小。按照外尔的理论，两点之间的尺子大小和时钟快慢的改变居然取决于尺子和时钟沿什么路径移动！这就是爱因斯坦在外尔《引力与电》一文后所作评论的内容。评论后面还发表了外尔篇幅很长但没有说服力的答复，但是他承认自己“像野鹅一样追逐疯狂的概念”。
在外尔的这篇文章中，有一句话体现了外尔的思考方式（本文中的直接引文均为笔者译自英文）：“电磁守恒定律与新的规范不变性联系起来，通过第五个任意函数表达。在我看来，这与能量动量原理的类似是对当前理论的最强论证一只要在纯粹猜想的情况下允许谈论论证。”可以看出，外尔的信心源于他提出电磁守恒定律背后的不变性，或者说对称性。这里的守恒量并非今天我们所知的电荷（那需要修正后的规范理论）。这里，外尔将对称性导致的守恒量与能量动量守恒相比较。这些都可以当成诺特定理的例子。诺特定理是说，连续对称性对应于守恒量。不知外尔当时是否已经知道也发表于1918年的诺特定理6。当时诺特在哥廷根大学希尔伯特的麾下，但是五年前外尔就已经离开了。
量子论拯救规范理论
量子论出现以后，1922年，外尔的朋友薛定谔猜测，可以在外尔的标度因子的指数里加，上虚数单位i”。这样，标度因子就成了一个模为1的复数，即量子力学波函数的相位因子。但是薛定谔当时还没有波函数的概念，只是笼统地说某个“长度”。后来人们发现，这个工作对薛定谔1926年创立波动力学起了启发作用[8-10。也是在1922年，在经典理论中，卡鲁扎（Theodor Kaluza）将4维时空推广到5维时空，其中某些度规分量代表电磁势。当理论不依赖于第5维坐标时，5维坐标变换退化为4维坐标变换和1维规范变换。
1926年，薛定谔通过4篇文章创立了量子力学的波动力学表述（因此分享1933年诺贝尔物理学奖）。他在第4篇文章中指出，电磁场中带电粒子的动量和能量算符必须包含电磁势川。同样是在1926年，克莱因（OskarKlein）和福克（Vladimir Fock）分别讨论了卡鲁扎理论对应的波动力学。福克特别指出，波丽数运动方程具有规范不变性，就是说，将波丽数乘以相位因子，同时电磁势做相应的变换，运动方程依然成立。
1926年底，伦敦（Fritz London）给薛定谔写了一封信，询问他1922年对规范因子的修改与他1926年波动力学的联系18-10]。然后伦敦自己写了两篇文章，将通常的波动力学与外尔的规范理论联系起来，将外尔的不可积标度因子改为波丽数的不可积相位因子[14-151。伦敦的工作没有福克的5维理论的额外负担。
规范理论的重生
在伦敦和福克工作的铺垫基础上，外尔在1928年的《量子力学中的群论》一书 和1929年的两篇文章中，终于修正了他1918至1919年的理论，正式将标度因子改为相位因子，将标度不变性改为相位不变性，但是沿用了原来的名词“规范（eich）”。我们特意将他在1918-1919年间的不可积因子称作标度因子，因为标度因子和相位因子都称作规范因子。2019年恰好也是规范理论重生九十周年。1929年的这两篇文章是外尔以美国普林斯顿大学访问教授的身份完成的。第一篇是发表于《美国科学院院刊》（PNAS）的英文概要《引力与电子》（Gravitation and the electron），里面出现了“规范不变原理”（principle of gauge invariance）。第二篇是德文文章，发表于《物理学杂志》（Zeitschrift fir Physik），内容详尽，标题是《电子与引力（一）》（Elektronund gravitation.I）。两个标题与他1918年的《引力与电》颇为呼应。