小学数学概念教学中值得注意的几个问题

小学数学教材中，根据小学生不同阶段的认知水平，数学概念采取了不同的呈现形式，有的数学概念只给出了概念的名称，有的数学概念只是描述了概念外延的一部分，对于有的概念，则以比较通俗的语言揭示概念的本质属性，有的则给出了概念的数学定义，但不管采取哪种形式，都要与将来数学中的严格定义不矛盾。数学概念呈现形式的多样性，增加了小学数学概念教学的难度，也引发了一些问题。下面是在小学听课的过程中以及在与小学数学教研员的交流过程中，收集到的一些小学数学概念教学中的问题，现就这些问题进行讨论，供大家参考。

一、平行四边形概念的教学中本质属性揭示过度的问题

“人教版”义务教育课程标准实验教科书《数学》(以下简称《数学》)(三年级上册)的第三单元中的第二部分为“平行四边形”，“平行四边形”概念以“描述外延的一部分”的形式呈现：从学校大门上的图案中抽象出图形，然后说：“这样的图形是平行四边形”。

我们在深入小学听课时，听到了这样一节课，数学教师首先用幻灯片给出了学校大门的图片，图片中的大门带有平行四边形图案，其目的是让学生初步感知平行四边形。然后用钉子板围出各种形状的平行四边形，让学生进一步感知平行四边形，接下来的环节是揭示“平行四边形概念的本质属性”。

师：观察平行四边形“对着”的这两条边，它们的长有什么关系?

生：(在数完钉子板上平行四边形的边对应的格数后)它们一样长。

师：我们把平行四边形“对着”的两条边称作一组对边，再观察另外一组对边，它们的长有什么关系?

生：也是一样长。

师：平行四边形就是两组对边相等的四边形。

师：同学们想一想，你还观察到了什么?

生：平行四边形没有直角。

师：对，平行四边形没有直角。

后面的环节是巩固新知识的练习，结果学生们都把正方形、长方形排除在平行四边形的范围之外了。

这里，这位教师显然犯了一个科学性的错误，这就是由于在概念教学中对本质属性揭示过度的原因，她把“这样的”平行四边形的属性“没有直角”当作平行四边形的本质属性揭示出来，实际上，“这样的”平行四边形只是平行四边形的一种，这就是所谓的“描述外延的一部分”的呈现形式。由于描述的不是概念外延的全部，因此，不是“这样的”四边形也可能是平行四边形。在教学中最好的处理方法是强调“这样的图形是平行四边形的一种”。

二、关于“分类”

《数学》(一年级上册)的第5单元是“分类”，关于“分类”这一概念，教材只给出了概念的名称。在与之配套的《教师教学用书》中，对分类作了如下描述：“分类思想是一种基本的数学思想。它是根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。分类活动包括一系列复杂的思维过程。”该书所给出的参考教案中有一个环节是揭示概念：“像阿姨这样，把一样的东西放在一起就叫分类”。到底什么是分类呢?许多小学数学教师不能明确的回答这一问题。

1.“分类”首先是一个分类学的概念

科学上有一门“分类学”，是专门研究分类的。2001年10月出版的由俞立君编著的《文献分类》一书中指出：“类是指具有某种共同性的个别事物的集合，表明某些个别事物共有的1种概念，分类是指以事物的本质属性或其他显著特征作为根据，把各种事物集合成为类的过程。它是人们认识事物、区分事物、组织事物的一种逻辑方法”。

2.“分类”也是一个心理学概念

宋书文主编的《心理学名词解释》对“分类”的解释是：“思维的具体过程之一。是指依据事物的本质特征、把事物分为不同层次的类别的思维过程。找出事物的一般特征，就是分析；依据事物一般特征，把事物分为不同层次的类别，就是综合。可见，分类也是分析与综合的特殊形态。不经过比较，就无从认识事物的一般特性，无从区别事物的异同，因而也就不可能进行分类。比较是分类的基础，分类乃是比较的一种变式。事物间可以取其不同的一般特征来比较，分类也可按不同的特征来进行”。

3.“分类”也是一个逻辑学概念

2005年11月出版由张友谊主编的《普通逻辑学》给出了“分类”的概念：“划分是通过把一个概念所反映对象分为若干小类，从而明确这个概念外延的逻辑方法。分类则是划分的一种特殊形式，是科学研究中经常使用的一种方法”。划分是分类的基础，分类在方法、规则上与划分是一致的，其不同点是：分类是根据所分对象的本质属性或特征进行的划分，而划分可以用区别对象的任何属性作标准进行。分类与划分比较，分类更具有长期性和稳定性，它运用于各种科学的研究之中，使各门科学知识体系有长期发挥作用的价值。

姜全吉编著的《逻辑学》(修订版)给出的“分类”概念是：分类是根据事物的本质属性或显著特征将事物分为若干个类，使每个类相对于其他类都具有确定的地位。

4.“分类”也是一个数学概念

2006年10月出版的徐德余编著的《近世代数》中给出了“分类”的数学定义：“设一个集合A分成若干个非空子集，使得A中每个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体称为A的一个分类。每个子集称为一个类，类里任何一个元素称为这个类的一个代表。”

这四种关于分类的解释既有区别，又有密切的联系。心理学里所讲的分类，是作为思维的一种具体过程来分析的。它和科学上的“分类学”是有区别的；分类学中关于“分类”的表述与逻辑学中的表述也有区别；另一方面，分类学、逻辑学、数学中的“分类”概念都与集合有关，分类学中的类就是一个集合，逻辑学中概念的外延也是一个集合，数学中的“分类”指的就是集合的分类。

很明显，《教师教学用书》中对分类的描述，是对分类学、心理学、逻辑学中“分类”概念的一个综合，但却忽略了“分类”也是一个数学概念。而数学概念具有高度的抽象性，它并不强调按什么标准去分类，也可以“无标准”分类，从发展的角度看问题，为了今后学生建构“分类”的数学概念，建议在分类的教学中，将“把一样的东西放在一起就叫分类”改为“把具有相同属性的东西放在一起就是分类的一种”。因为“一样的东西”的这种表述太模糊，易引起歧义。在教材中，把削过的铅笔放在一起，但削过的铅笔有长有短，是不一样的，但都具有“削过的”这一属性。

三、关于“圆”与“半圆”及“圆面”

在与一些小学数学教研员的交流过程中，小学数学教研员们提出了这样的问题，“圆的面积”这种提法对不对?“半圆”指的是什么?怎样画半圆?画上半径对不对?要回答这一系列的问题，需要从圆的定义、面积的概念和封闭图形的概念谈起。

一些小学数学教材中“圆”的概念：“当一条线段绕着它的固定的一端在平面内旋转一周，它的另一端在平面内画成一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫圆”。

高中数学课本中“圆”的定义：“圆是平面内到定点的距离等于定长的动点的轨迹”。

两者虽然用词不太一样，但并不矛盾。很明显“圆”是一条曲线。对于曲线，我们只考虑曲线的长度，不论及它的宽度，更谈不上曲线的面积。

而什么又是“面积”呢?《数学》(三年级下册)中对面积的概念作了描述：“物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积”。封闭图形一般由曲线或线段围成。而我们习惯上说的“圆的面积”，实际上是不确切的。所谓“圆的面积”，应该是曲线“圆”围成的封闭图形——“圆形”的面积，把“圆的面积”叙述成“圆形的面积”更为贴切。

“半圆”应该是“圆”的一半，应该是一段弧，但为了说明这个“一半”，需要借助于圆的直径，因此，画“半圆”时，应把直径画成虚线。另一方面，“半圆”和直径围成“半圆形”，“半圆形”则包括了直径，因此画“半圆形”时应把直径画成实线。

但是，我们也应注意这样一个事实，在复数理论中，由于复数集与复平面上的点Z构成的集合以及以原点O为起点Z为终点的向量 ；构成的集合之间可以建立起一一对应关系，因此，在不引起混淆的情况下，也可以把复数、与之对应的复平面上的点以及对应的向量等同起来，即可以把复数a+bi称为点a+bi或向量a+bi。如果我们把半径相等的圆看作同一个圆，在这个意义下，在所有的“圆”构成的集合与所有“圆形”构成的集合之间也可以建立一一对应关系，因此也可以把“圆”和“圆形”等同起来，即也可以把“圆形”称为“圆”，也可以把“半圆形”称为“半圆”。把“圆形的面积”说成是“圆的面积”也就很自然了。因此，“圆”有两个含义：既有曲线的含义，也有封闭图形的含义。“半圆”同样也有两个含义，既有弧的含义，也有封闭图形的含义。有的书上把“圆形”称作“圆面”，其实，从发展的角度看问题，把“圆形”称作“圆面”不利于今后学生建构“面”的概念，建议还是称“圆形”为好。

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